Matrice diagonalizzabile
Ragazzi, ho bisogno di voi: devo studiare se una matrice è diagonalizzabile e, se lo è, calcolare $D$ e $P$ tale che $P * A * P^(-1) = D$.
quindi ho pensato di calcolare gli autovalori e controllare le molteplicità algebriche e geometriche in rapporto alla dimensione degli autospazi relativi agli stessi autovalori.
La matrice da studiare e' :
$((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
calcolando il determinante della matrice $(lambda I - A)$ ho trovato due autovalori: $- (lambda + 1)^2 * (lambda - 2)$
Quindi $lambda = -1$ e $lambda = 2$ con le molteplicità algebriche rispettivamente 2 e 1.
Ora, per il calcolo degli autospazi studio il sistema omogeneo lineare $(A - lambda I) * X = 0$.
se per il primo autovalore mi trovo con il risultato del libro, con il secondo no!
Devo studiare $(A - 2 I) * X = 0$, quindi la matrice da dover ridurre e poi studiare i valori che vanno a comporre le basi dell'autospazio è:
$((-2,1,1),(1,-2,1),(1,1,-2))$
andando a lavorare sulle righe con le trasformazioni elementari, arrivo a questa matrice:
$((-2,0,0),(1,-1,0),(0,1,-1))$
e non mi trovo affatto con il libro, perchè poi andando a studiare un sistema del genere non riesco a trovarmi i valori $x = y = z$ e quindi la base è composta da un solo vettore $L (1, 1, 1)$
dove ho sbagliato? vi ringrazio!
quindi ho pensato di calcolare gli autovalori e controllare le molteplicità algebriche e geometriche in rapporto alla dimensione degli autospazi relativi agli stessi autovalori.
La matrice da studiare e' :
$((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
calcolando il determinante della matrice $(lambda I - A)$ ho trovato due autovalori: $- (lambda + 1)^2 * (lambda - 2)$
Quindi $lambda = -1$ e $lambda = 2$ con le molteplicità algebriche rispettivamente 2 e 1.
Ora, per il calcolo degli autospazi studio il sistema omogeneo lineare $(A - lambda I) * X = 0$.
se per il primo autovalore mi trovo con il risultato del libro, con il secondo no!
Devo studiare $(A - 2 I) * X = 0$, quindi la matrice da dover ridurre e poi studiare i valori che vanno a comporre le basi dell'autospazio è:
$((-2,1,1),(1,-2,1),(1,1,-2))$
andando a lavorare sulle righe con le trasformazioni elementari, arrivo a questa matrice:
$((-2,0,0),(1,-1,0),(0,1,-1))$
e non mi trovo affatto con il libro, perchè poi andando a studiare un sistema del genere non riesco a trovarmi i valori $x = y = z$ e quindi la base è composta da un solo vettore $L (1, 1, 1)$
dove ho sbagliato? vi ringrazio!
Risposte
"Mr.Mazzarr":
$((-2,0,0),(1,-1,0),(0,1,-1))$
comunque questa matrice è sbagliata...infatti ha $rk=3$ mentre dovrebbe avere $rk=2$,come la matrice originaria
Ti dico come faccio io
di fatto è lo stesso metodo,ma magari mettendotelo giù in modo diverso ti risparmierai un po di calcoli che invece potresti fare a occhio
hai già visto da te che
$(A - 2 I)=((-2,1,1),(1,-2,1),(1,1,-2))$
tu devi trovare il un vettore $v$ tale che $(A - 2 I)v=0$ giusto?
supponiamo che il vettore sia $v=((x),(y),(z))=x((1),(0),(0))+y((0),(1),(0))+z((0),(0),(1))$ con $x,y,z$ scalari
allora $(A - 2 I)v=0 $
$hArr (A - 2 I)[x((1),(0),(0))+y((0),(1),(0))+z((0),(0),(1))]=0 $
$hArr x(A - 2 I)((1),(0),(0))+y(A - 2 I)((0),(1),(0))+z(A - 2 I)((0),(0),(1))=0 $
$hArr x((-2),(1),(1))+y((1),(-2),(1))+z((1),(1),(-2))=0$
quindi in pratica ti devi trovare una combinazione lineare delle colonne della matrice con coefficienti $x,y,z$,che saranno poi le coordinate di un autovettore
in uesto caso se tu noti a occhio senza bisogno di conti che
$1*((-2),(1),(1))+1*((1),(-2),(1))+1*((1),(1),(-2))=0$
cioè $x=y=z=1$
e quindi $v=((1),(1),(1))$
@ Benihime: Tutto quel casino per risolvere un sitema lineare omogeneo? Mammamia...
@ Mr.Rafa: L'autospazio relativo a \(2\) è necessariamente unidimensionale. Il sistema omogeneo associato a \(A-\lambda I\), cioé:
\[
\begin{pmatrix} -2 & 1 &1 \\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 &-2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
ha necessariamente un'equazione di troppo; dato che mi scoccio di ridurlo a scalini, decido di chiamare \(z=t\) parametro e di ricavare \(x\) ed \(y\) in funzione di \(t\) prendendo le ultime due equazioni (che contengono un minore non nullo nelle prime due colonne): quindi risolvo:
\[
\begin{cases}
x-2y=-t\\
x+y=2t\\
z=t
\end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad (x,y,z)=(t,t,t)=t\ (1,1,1)
\]
quindi una base dell'autospazio relativo a \(2\) è costituita dal vettore \((1,1,1)\).
@ Mr.Rafa: L'autospazio relativo a \(2\) è necessariamente unidimensionale. Il sistema omogeneo associato a \(A-\lambda I\), cioé:
\[
\begin{pmatrix} -2 & 1 &1 \\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 &-2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
ha necessariamente un'equazione di troppo; dato che mi scoccio di ridurlo a scalini, decido di chiamare \(z=t\) parametro e di ricavare \(x\) ed \(y\) in funzione di \(t\) prendendo le ultime due equazioni (che contengono un minore non nullo nelle prime due colonne): quindi risolvo:
\[
\begin{cases}
x-2y=-t\\
x+y=2t\\
z=t
\end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad (x,y,z)=(t,t,t)=t\ (1,1,1)
\]
quindi una base dell'autospazio relativo a \(2\) è costituita dal vettore \((1,1,1)\).
no io non faccio tutto quel casino di solito
era per mostrare il perchè si possono guardare a occhio le combinazioni dei vettori senza necessriamente svolgere dei conti....temevo che sennò potesse sembrare un sistema campato in aria
era per mostrare il perchè si possono guardare a occhio le combinazioni dei vettori senza necessriamente svolgere dei conti....temevo che sennò potesse sembrare un sistema campato in aria
Credo d'aver capito, però vorrei chiedervi come si tratta un caso particolare..
Ovvero nel caso in cui il sistema lineare omogeneo si presenti in una forma del genere:
$((0,2,3),(0,1,3),(0,0,2)) * ((x), (y), (z)) = ((0), (0), (0))$
Quindi i coefficienti di x sono tutti uguali a 0. Impostando il sistema mi trovo con $y = z = 0$, ma $x$ che valore assume ?
Non sono sicuro di ciò che dico, ma dato che si tratta di trovare un valore di x tale che $0x = 0$, non esiste un solo valore ma il risultato di quel sistema (e quindi l'autospazio) dovrebbe essere $(x, 0, 0) : x in RR$.
Ho detto in modo corretto ??
P.s.
L'autospazio di un sistema lineare con rango inferiore al numero di righe e colonne, qual è ??
Dovrebbe ammettere $oo^(n-m)$ soluzioni.
Ovvero nel caso in cui il sistema lineare omogeneo si presenti in una forma del genere:
$((0,2,3),(0,1,3),(0,0,2)) * ((x), (y), (z)) = ((0), (0), (0))$
Quindi i coefficienti di x sono tutti uguali a 0. Impostando il sistema mi trovo con $y = z = 0$, ma $x$ che valore assume ?
Non sono sicuro di ciò che dico, ma dato che si tratta di trovare un valore di x tale che $0x = 0$, non esiste un solo valore ma il risultato di quel sistema (e quindi l'autospazio) dovrebbe essere $(x, 0, 0) : x in RR$.
Ho detto in modo corretto ??
P.s.
L'autospazio di un sistema lineare con rango inferiore al numero di righe e colonne, qual è ??
Dovrebbe ammettere $oo^(n-m)$ soluzioni.
si che è corretto...${(x,0,0):x in RR}=Span(1,0,0)=ker(\phi)$
è chiaro che tu hai infinite soluzioni...nel caso di prim tu hai ottenuto,giustamente,tutti i vettori che risolvono il sistema,ma sta a te selezionare una base per quello spazio
è chiaro che tu hai infinite soluzioni...nel caso di prim tu hai ottenuto,giustamente,tutti i vettori che risolvono il sistema,ma sta a te selezionare una base per quello spazio
E come seleziono una base? Cioè, se ho infinite soluzioni, quale scelgo come base?
è indifferente..di solito se ne sceglie una comoda per eventuali conti futuri
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