Matrice diagonalizzabile
Da poco tempo mi sono messo a studiare algebra lineare, un settore della matematica per me del tutto nuovo e inesplorato, ma che mi incuriosisce molto.
Ho provato a risolvere il seguente esercizio:
Data la matrice $A=$$((3,0,0),(4,5,2),(0,2,5))$ stabilire se è diagonalizzabile e, in caso affermativo, calcolare una base di autovettori.
Posto $ Det (A-kI)=0$ ottengo l'equazione in $k$, $(k-3)*(k-5)^2-4(k-3)=0$ che, risolta, mi dà $k=3$ con molteplicità algebrica 2 e $k=7$ con molteplicità 1.
Se ho capito bene $A$ è diagonalizzabile se la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica, tenendo conto che $1<=m.g.<=m.a$ per $k=7$ l'ipotesi è verificata. Per $k=3$ devo invece verificare se il rango della matrice $(A-3I)$ è $1$.
Ma $((0,0,0),(4,2,2),(0,2,2))$ ha, mi pare, rango 2 e, se così fosse, $m.g.(3) =3-2=1!=m.a(3)$. Quindi la matrice non sarebbe diagonalizzabile.
Ho però molti dubbi sia sui calcoli che sui "ragionamenti" esposti e, dato che il testo non riporta la soluzione, mi rivolgo a chi è esperto della materia per una correzione del compitino.
Grazie in anticipo e chiedo scusa se sono stato troppo lungo o poco chiaro (o entrambe le cose).
Ho provato a risolvere il seguente esercizio:
Data la matrice $A=$$((3,0,0),(4,5,2),(0,2,5))$ stabilire se è diagonalizzabile e, in caso affermativo, calcolare una base di autovettori.
Posto $ Det (A-kI)=0$ ottengo l'equazione in $k$, $(k-3)*(k-5)^2-4(k-3)=0$ che, risolta, mi dà $k=3$ con molteplicità algebrica 2 e $k=7$ con molteplicità 1.
Se ho capito bene $A$ è diagonalizzabile se la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica, tenendo conto che $1<=m.g.<=m.a$ per $k=7$ l'ipotesi è verificata. Per $k=3$ devo invece verificare se il rango della matrice $(A-3I)$ è $1$.
Ma $((0,0,0),(4,2,2),(0,2,2))$ ha, mi pare, rango 2 e, se così fosse, $m.g.(3) =3-2=1!=m.a(3)$. Quindi la matrice non sarebbe diagonalizzabile.
Ho però molti dubbi sia sui calcoli che sui "ragionamenti" esposti e, dato che il testo non riporta la soluzione, mi rivolgo a chi è esperto della materia per una correzione del compitino.
Grazie in anticipo e chiedo scusa se sono stato troppo lungo o poco chiaro (o entrambe le cose).
Risposte
Ho controllato, tutti i calcoli sono corretti e la matrice non è diagonalizzabile.
Va benissimo il tuo metodo ma solo se vuoi sapere se la matrice non è diagonalizzabile, altrimenti se devi anche diagonalizzarla ti conviene trovare gli autospazi e poi guardarne la dimensione per sapere la m.g
Va benissimo il tuo metodo ma solo se vuoi sapere se la matrice non è diagonalizzabile, altrimenti se devi anche diagonalizzarla ti conviene trovare gli autospazi e poi guardarne la dimensione per sapere la m.g
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo