Matrice diagonale simile

[Bob_inch]

Salve!
Sia $M=((1,0,0),(2,2,-1),(-2,-1,2))$.
Determinare una matrice diagonale D simile a M.
Mmm, come si fa in questi casi?

[_Tipper]

Per prima cosa determina se la matrice è diagonalizzabile, ad esempio vedendo se ogni autovalore è regolare. In caso affermativo una matrice simile è quella diagonale che ha sulla diagonale principale gli autovalori di $M$.

[Bob_inch]

Ho dimostrato che è diagonalizzabile, cercando dapprima il polinomio caratteristico e successivamente ricavando gli autospazi $V(1), V(3)$ e verificando che le loro rispettive dimensioni sono eguali alle molteplicità algebriche degli autovalori. Quindi M è diagonalizzabile.

Se ben ho afferrato quanto mi hai detto la matrice simile che cerco è:

$((1,0,0),(0,3,0),(0,0,1))$

Giusto?

[hee136]

Cosa significa "autovalori regolari" ?

Ho provato a svolgere gli autovalori di questa matrice e mi vengono reali.

Mi vengono:
1
1
3

[_Tipper]

Non ho fatto i calcoli, ma se gli autovalori sono $1$ (doppio) e $3$ allora quella è una matrice simile. Altre due sono

$((1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 3))$

$((3, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1))$

Quello che cambia, in questi casi, è solo la matrice del cambio di coordinate.

[_Tipper]

"hee136":Cosa significa "autovalori regolari" ?

Un autovalore si dice regolare quando la sua molteplicità algebrica e geometrica coincidono.

PS: facendo i conti ho trovato gli stessi risultati di Bob_inch.

[Bob_inch]

"Tipper":Non ho fatto i calcoli, ma se gli autovalori sono $1$ (doppio) e $3$ allora quella è una matrice simile. Altre due sono

$((1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 3))$

$((3, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1))$

Quello che cambia, in questi casi, è solo la matrice del cambio di coordinate.

Scusami, l'ordine con cui si dispongono gli autovalori è indifferente?
Chiedo venia se la domanda è banale.

[franced]

"Tipper":[quote="hee136"]Cosa significa "autovalori regolari" ?

Un autovalore si dice regolare quando la sua molteplicità algebrica e geometrica coincidono.

[/quote]

Cioè quando trovi un numero di autovettori lin. indip. uguale alla molteplicità algebrica.

[franced]

"Bob_inch":[quote="Tipper"]Non ho fatto i calcoli, ma se gli autovalori sono $1$ (doppio) e $3$ allora quella è una matrice simile. Altre due sono

$((1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 3))$

$((3, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1))$

Quello che cambia, in questi casi, è solo la matrice del cambio di coordinate.

Scusami, l'ordine con cui si dispongono gli autovalori è indifferente?
Chiedo venia se la domanda è banale.[/quote]

Basta scambiare l'ordine dei vettori della base.

[franced]

"Tipper":Non ho fatto i calcoli, ma se gli autovalori sono $1$ (doppio) e $3$ allora quella è una matrice simile. Altre due sono

$((1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 3))$

$((3, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1))$

Quello che cambia, in questi casi, è solo la matrice del cambio di coordinate.

Che infatti viene moltiplicata per una matrice di permutazione.