Matrice diagonale e cambio di riferimento ;
Ho un problema con un esercizio di geometria. Devo capire se è una questione di concetto (non aver capito come funziona) o errore di calcolo, che io sbagli questo esercizio.
L'esercizio inizia dando la matrice $A$ da $R^2$ in $R^2$ e chiedendone polinomio caratteristico, autovalori e se diagonalizzabile:
$((3,-3),(-1,5))$
Il polinomio caratteristico è piuttosto semplice: $x^2 -8x +12$ dunque gli autovalori sono due e la molteplicità geometrica ed algebrica coincidono poichè quest'ultima è 1, inoltre lo spettro $S(A) = {2,6} in R$ quindi le condizioni di diagonalizzabilità sono rispettate.
Essendo diagonalizzabile, posso passare a trovare la matrice diagonale $\Delta$ che ha come base di dominio e codominio la base $B = {(3, 1), (-1, 1)}$ dove il primo autovettore genera l'autospazio relativo all'autovalore 2 e il secondo l'altro.
Quindi la matrice diagonale è:
$((2,0),(0,6))$
Ora se non ho fatto errori l'esercizio mi chiede di trovare una matrice invertibile $C$ tale che $A = C*\Delta*C^(-1)$.
A questo punto come devo lavorare?
Io ho provato a fare così. Qualsiasi base fosse la nostra matrice $A$ comunque lavora in maniera di mandare una base ${v_1, v_2}$ nel modo seguente: $A*v_1 = 3v_1 -v_2$ e $A*v_2 = -3v_1 + 5v_2$.
E' lecito lavorare con la base canonica per rendere le cose più semplici?
Se lo fosse è tutto ok fin qui no? Poichè io ho continuato l'esercizio facendo quest'osservazione di cui sopra.
A questo punto ho cercato una matrice $D$ tale che $\Delta = D*A*D^(-1)$ dove la matrice $D$ è una matrice di cambio di riferimento tra la base $B$ e la base canonica $E$.
A questo punto conosco $D$ trovando le componenti nella base canonica degli autovettori che sono la mia base di partenza, secondo l'applicazione identica e la matrice sarà:
$((3,-1),(1,1))$
Se tutto fin qui va bene, ho calcolato l'inversa tramite la formula del prodotto scalare tra il reciproco del determinante per la trasposta della matrice che ha per componenti $a_(ij)$ il minore dato dalla cancellazione della riga i-esima e della colonna j-esima cambiato di segno se la somma tra i e j fosse dispari. Se tutto questo è ancora giusto l'inversa dovrebbe essere:
$((1/4, 1/4),(-1/4, 3/4))$
Ora dalla relazione di prima trovo che $A = D^(-1)*\Delta*D$ eppure non viene.
La domanda è: cosa sbaglio?
Se faccio più di un errore, concettuale o di calcolo ditemelo che con i cambi di riferimento e simili ho sempre avuto problemi...
Grazie
L'esercizio inizia dando la matrice $A$ da $R^2$ in $R^2$ e chiedendone polinomio caratteristico, autovalori e se diagonalizzabile:
$((3,-3),(-1,5))$
Il polinomio caratteristico è piuttosto semplice: $x^2 -8x +12$ dunque gli autovalori sono due e la molteplicità geometrica ed algebrica coincidono poichè quest'ultima è 1, inoltre lo spettro $S(A) = {2,6} in R$ quindi le condizioni di diagonalizzabilità sono rispettate.
Essendo diagonalizzabile, posso passare a trovare la matrice diagonale $\Delta$ che ha come base di dominio e codominio la base $B = {(3, 1), (-1, 1)}$ dove il primo autovettore genera l'autospazio relativo all'autovalore 2 e il secondo l'altro.
Quindi la matrice diagonale è:
$((2,0),(0,6))$
Ora se non ho fatto errori l'esercizio mi chiede di trovare una matrice invertibile $C$ tale che $A = C*\Delta*C^(-1)$.
A questo punto come devo lavorare?
Io ho provato a fare così. Qualsiasi base fosse la nostra matrice $A$ comunque lavora in maniera di mandare una base ${v_1, v_2}$ nel modo seguente: $A*v_1 = 3v_1 -v_2$ e $A*v_2 = -3v_1 + 5v_2$.
E' lecito lavorare con la base canonica per rendere le cose più semplici?
Se lo fosse è tutto ok fin qui no? Poichè io ho continuato l'esercizio facendo quest'osservazione di cui sopra.
A questo punto ho cercato una matrice $D$ tale che $\Delta = D*A*D^(-1)$ dove la matrice $D$ è una matrice di cambio di riferimento tra la base $B$ e la base canonica $E$.
A questo punto conosco $D$ trovando le componenti nella base canonica degli autovettori che sono la mia base di partenza, secondo l'applicazione identica e la matrice sarà:
$((3,-1),(1,1))$
Se tutto fin qui va bene, ho calcolato l'inversa tramite la formula del prodotto scalare tra il reciproco del determinante per la trasposta della matrice che ha per componenti $a_(ij)$ il minore dato dalla cancellazione della riga i-esima e della colonna j-esima cambiato di segno se la somma tra i e j fosse dispari. Se tutto questo è ancora giusto l'inversa dovrebbe essere:
$((1/4, 1/4),(-1/4, 3/4))$
Ora dalla relazione di prima trovo che $A = D^(-1)*\Delta*D$ eppure non viene.
La domanda è: cosa sbaglio?
Se faccio più di un errore, concettuale o di calcolo ditemelo che con i cambi di riferimento e simili ho sempre avuto problemi...
Grazie
Risposte
Le formule corrette sono
$A=D\ \Delta\ D^(-1)$
$\Delta=D^(-1)\ A\ D$
$A=D\ \Delta\ D^(-1)$
$\Delta=D^(-1)\ A\ D$
Ma è lo stesso no? Tanto se trovo la $D^(-1)$ chiamandola $D$ è lo stesso, poi ne calcolo l'inversa comunque... D:
Più che altro non mi ritrovo con i calcoli, dopo che ho tempo li rifaccio quelli finali, magari sto sbagliando quelli?
Più che altro non mi ritrovo con i calcoli, dopo che ho tempo li rifaccio quelli finali, magari sto sbagliando quelli?
Ha fatto il prodotto al contrario: se hai trovato la matrice \(D\) che ha per colonne gli autovettori di \(A\), allora questa matrice è tale che \(D^{-1} A D\) risulta diagonale. Anche solo per ragionamento geometrico: la diagonalizzazione è una rotazione degli assi.
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