Matrice diagonale con parametro
Si determinino i valori del parametro t $in$ $RR$ per i quali risulta diagonalizzabile la matrice :
A = $((2,1,0),(0,t,0),(0,0,1))$
Allora io ho risolto come se fosse una matrice normale,cioè ho immesso lambda:
A= $((2-$\lambda$,1,0),(0,t-$\lambda$,0),(0,0,1-$\lambda$))$
quindi trovando il polinomio caratteristico,mi rimane=
2-$\lambda$[(t-$\lambda$)(1-$\lambda$)],poi mi sono trovato gli autovalori che se non sbaglio
sono :
$\lambda$=2
$\lambda$=t
$\lambda$=1
Quindi ho ipotizzato che se t è diverso sia da 2 che da 1 ho tre autovalori diversi,e quindi diagonalizzabile,quindi t deve essere diverso da 2 e 1.Però nel caso in cui t è uguale a 2 o uguale a 1 cosa posso concludere tramite gli autospazi??
Ho calcolato bene gli autovalori,oppure mi sono sbagliato nel polinomio caratteristico?
Aiutatemi per piacere
A = $((2,1,0),(0,t,0),(0,0,1))$
Allora io ho risolto come se fosse una matrice normale,cioè ho immesso lambda:
A= $((2-$\lambda$,1,0),(0,t-$\lambda$,0),(0,0,1-$\lambda$))$
quindi trovando il polinomio caratteristico,mi rimane=
2-$\lambda$[(t-$\lambda$)(1-$\lambda$)],poi mi sono trovato gli autovalori che se non sbaglio
sono :
$\lambda$=2
$\lambda$=t
$\lambda$=1
Quindi ho ipotizzato che se t è diverso sia da 2 che da 1 ho tre autovalori diversi,e quindi diagonalizzabile,quindi t deve essere diverso da 2 e 1.Però nel caso in cui t è uguale a 2 o uguale a 1 cosa posso concludere tramite gli autospazi??
Ho calcolato bene gli autovalori,oppure mi sono sbagliato nel polinomio caratteristico?
Aiutatemi per piacere
Risposte
Ciao, un piccolo appunto: se una matrice è triangolare non c'è alcun bisogno di calcolare il polinomio caratteristico ma gli autovalori si leggono direttamente sulla diagonale (la dimostrazione è piuttosto semplice).
La tua prima osservazione è giusta: se $t != 1,2$ gli autovalori sono semplici, quindi la matrice è diagonalizzabile.
Consideriamo ora il caso $t=1$. La matrice diventa $$A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ Allora abbiamo $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}2-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&0\\0&0&1-\lambda\end{bmatrix}$$ Dobbiamo calcolare la molteplicità geometrica relativa all'autovalore \(\lambda = 1\) quindi calcoliamo $$\text{Ker}\left[A-I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} = \text{Im}\begin{bmatrix}1&0\\-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ La molteplicità geometrica è quindi $2$ e l'autovalore risulta regolare. Ne segue che la matrice è diagonalizzabile.
Ti lascio l'analisi del caso $t=2$.
La tua prima osservazione è giusta: se $t != 1,2$ gli autovalori sono semplici, quindi la matrice è diagonalizzabile.
Consideriamo ora il caso $t=1$. La matrice diventa $$A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ Allora abbiamo $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}2-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&0\\0&0&1-\lambda\end{bmatrix}$$ Dobbiamo calcolare la molteplicità geometrica relativa all'autovalore \(\lambda = 1\) quindi calcoliamo $$\text{Ker}\left[A-I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} = \text{Im}\begin{bmatrix}1&0\\-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ La molteplicità geometrica è quindi $2$ e l'autovalore risulta regolare. Ne segue che la matrice è diagonalizzabile.
Ti lascio l'analisi del caso $t=2$.
Nel caso t=2 mi trovo la matrice
Ker[A-I]=Ker $((0,1,0),(0,-1,0),(0,0,-1))$ = Im $|(1,0),(0,0),(0,0)|$
Quindi la m.geometrica è uguale a 2 e quindi autovalore regolare===> diagonalizzabile con t=2
Giusto?O c'è un errore nelle immagini?
Ker[A-I]=Ker $((0,1,0),(0,-1,0),(0,0,-1))$ = Im $|(1,0),(0,0),(0,0)|$
Quindi la m.geometrica è uguale a 2 e quindi autovalore regolare===> diagonalizzabile con t=2
Giusto?O c'è un errore nelle immagini?
Più che altro c'è un errore di concetto: se $t=2$ la matrice diventa $$A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ L'autovalore "pericoloso" è il $2$, quindi dovrai calcolare la sua molteplicità geometrica, e non quella di $1$ che ha molteplicità algebrica pari a $1$ ed è quindi certamente regolare. In conclusione devi calcolare $$\text{Ker}\left[A-2I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$
Ah si scusa,ho fatto un errore grave,per la fretta ho sostituito il 2 nella matrice che avevi scritto te...
Comunque mi escono 2 immagini:( 0,0,0) e (1,0,0) perchè y e z sono sempre zero e x=c.Quindi una volta ho preso c=0 e un'altra volta c=1.
Se ci sono 2 immagini vuol dire che la matrice ha m.geometrica =2 e quindi diagonalizzabile.
Però mi viene il dubbio delle immagini,che non mi sembrano corrette.
Comunque mi escono 2 immagini:( 0,0,0) e (1,0,0) perchè y e z sono sempre zero e x=c.Quindi una volta ho preso c=0 e un'altra volta c=1.
Se ci sono 2 immagini vuol dire che la matrice ha m.geometrica =2 e quindi diagonalizzabile.
Però mi viene il dubbio delle immagini,che non mi sembrano corrette.
Il vettore $(0,0,0)^T$ non lo devi considerare. Il kernel è formato dall'immagine di un solo vettore, cioè $(1,0,0)^T$. Il vettore nullo è infatti linearmente dipendente da questo (e da qualunque altro vettore).
Aaaaah adesso ho capito,quindi quando mi trovo di fronte al vettore nullo non lo devo considerare,quindi
posso concludere che la molteplicità geometrica è uguale a 1 e quella geometrica è uguale a 2. Poichè non sono
uguali, per t=2 la matrice non è diagonalizzabile
Grazie mille per l'aiuto.
Anche se non potrei,ti posso chiedere un aiuto su un altro esercizio che ho postato insieme a questo??si tratta
sempre di matrici e autovalori e autovettori,ti posto il link qui sotto:
viewtopic.php?f=37&t=128162
Scusami ancora,spero non sia contro il regolamento,ma è urgente per me.
posso concludere che la molteplicità geometrica è uguale a 1 e quella geometrica è uguale a 2. Poichè non sono
uguali, per t=2 la matrice non è diagonalizzabile
Grazie mille per l'aiuto.
Anche se non potrei,ti posso chiedere un aiuto su un altro esercizio che ho postato insieme a questo??si tratta
sempre di matrici e autovalori e autovettori,ti posto il link qui sotto:
viewtopic.php?f=37&t=128162
Scusami ancora,spero non sia contro il regolamento,ma è urgente per me.
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