Matrice di una riflessione/rotazione
devo scrivere la matrice (nel riferimento canonico) della riflessione, $\rho: E^3 rarr E^3$, rispetto alla retta $r: {(2x_1-x_3=0),(2x_2-x_3=2):}$. ho il suggerimento che questa riflessione può essere considerata come rotazione di asse $r$ e angolo $\phi$.
$r=(0,1,0)+<(1,1,2)>$
Provo a scrivere la matrice nel riferimento $(R_1, V)$ :
$((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,1))$
ammettendo che questa sia giusta non riesco a far il cambiamento di base.. suggerimenti?
$r=(0,1,0)+<(1,1,2)>$
Provo a scrivere la matrice nel riferimento $(R_1, V)$ :
$((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,1))$
ammettendo che questa sia giusta non riesco a far il cambiamento di base.. suggerimenti?
Risposte
A me viene una cosa del genere....
sarebbe una riflessione rispetto a una retta di equazioni
[tex]\frac{x-x0}{cos\alpha}= \frac{y-y0}{cos\beta} = \frac{z-z0}{cos\gamma}[/tex]
dove al denominatore ci sono i coseni direttori di un versore parallelo alla retta.
per la tua retta
[tex]cos\alpha = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\gamma = \frac{2}{\sqrt6}[/tex]
[tex]x0 = z0 = 0, y0 =1[/tex]
La matrice di riflessione sarebbe questa roba qui.
Non e' verificata , ne' controllata per cui va presa con le molle.
Puoi provare alcuni esempi semplificativi, come rette che passano dall'origine e rette orientate secono gli assi.
[tex]\begin{vmatrix}
cos2 \alpha & 2cos\alpha cos\beta & 2cos\alpha cos\gamma \\ 2cos\beta cos\alpha & cos2\beta & 2cos\beta cos\gamma \\ 2cos\gamma cos\alpha & 2cos\gamma cos\beta & cos2\gamma \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix}+
\begin{vmatrix} 2(sen\alpha)^2 & -2cos\alpha cos\beta & -2cos\alpha cos\gamma \\ -2cos\beta cos\alpha & 2(sen\beta)^2 & -2cos\beta cos\gamma \\ -2cos\gamma cos\alpha & -2cos\gamma cos\beta & 2(sen\gamma)^2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x0 \\ y0 \\ z0 \end{vmatrix}[/tex]
sarebbe una riflessione rispetto a una retta di equazioni
[tex]\frac{x-x0}{cos\alpha}= \frac{y-y0}{cos\beta} = \frac{z-z0}{cos\gamma}[/tex]
dove al denominatore ci sono i coseni direttori di un versore parallelo alla retta.
per la tua retta
[tex]cos\alpha = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\gamma = \frac{2}{\sqrt6}[/tex]
[tex]x0 = z0 = 0, y0 =1[/tex]
La matrice di riflessione sarebbe questa roba qui.
Non e' verificata , ne' controllata per cui va presa con le molle.
Puoi provare alcuni esempi semplificativi, come rette che passano dall'origine e rette orientate secono gli assi.
[tex]\begin{vmatrix}
cos2 \alpha & 2cos\alpha cos\beta & 2cos\alpha cos\gamma \\ 2cos\beta cos\alpha & cos2\beta & 2cos\beta cos\gamma \\ 2cos\gamma cos\alpha & 2cos\gamma cos\beta & cos2\gamma \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix}+
\begin{vmatrix} 2(sen\alpha)^2 & -2cos\alpha cos\beta & -2cos\alpha cos\gamma \\ -2cos\beta cos\alpha & 2(sen\beta)^2 & -2cos\beta cos\gamma \\ -2cos\gamma cos\alpha & -2cos\gamma cos\beta & 2(sen\gamma)^2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x0 \\ y0 \\ z0 \end{vmatrix}[/tex]
Grazie, penso di aver capito la prima parte della spiegazione, l'unica cosa ..penso che i coseni siano così
[tex]cos\alpha = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\gamma = \frac{2}{\sqrt6}[/tex] dato che il vettore direttore della retta è $(1,1,2)$.
però mi sono persa nel passaggio della costruzione della matrice..
[tex]cos\alpha = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]cos\gamma = \frac{2}{\sqrt6}[/tex] dato che il vettore direttore della retta è $(1,1,2)$.
però mi sono persa nel passaggio della costruzione della matrice..
Si, infatti ho corretto l'errore.
La matrice si trova con una costruzione vettoriale.
Se P e' il punto da riflettere si prende il vettore [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] e si calcola la sua proiezione sulla retta r [tex]\overrightarrow{ur} (\overrightarrow{ur} \cdot \overrightarrow{OP})[/tex] La retta r si suppone passante per l'origine.
[tex]\overrightarrow{ur}[/tex] e' il versore parallelo alla retta r
Allora
[tex]\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{ur} (\overrightarrow{ur} \cdot \overrightarrow{OP})[/tex]
e' il vettore normale alla retta [tex]\overrightarrow{N}[/tex] che raggiunge il punto P.
La riflessione speculare rispetto alla retta r sara' semplicemente [tex]-\overrightarrow{N}[/tex]
Se a questo vettore sommiamo la proiezione di [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] otteniamo il punto P' opposto a P rispetto a r.
Cioe'
[tex]\overrightarrow{OP'} = 2 \overrightarrow{ur} (\overrightarrow{ur} \cdot \overrightarrow{OP}) -\overrightarrow{OP}[/tex]
Se espliciti il prodotto scalare e scomponi il vettore nelle varie componenti ottieni proprio la matrice di riflessione che ti ho dato.
Se la retta non passa per l'origine, prima si trasla la retta per farla passare per l'origine, quindi si esegue la riflessione, poi si riporta la retta nella sua posizione originale.
La matrice si trova con una costruzione vettoriale.
Se P e' il punto da riflettere si prende il vettore [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] e si calcola la sua proiezione sulla retta r [tex]\overrightarrow{ur} (\overrightarrow{ur} \cdot \overrightarrow{OP})[/tex] La retta r si suppone passante per l'origine.
[tex]\overrightarrow{ur}[/tex] e' il versore parallelo alla retta r
Allora
[tex]\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{ur} (\overrightarrow{ur} \cdot \overrightarrow{OP})[/tex]
e' il vettore normale alla retta [tex]\overrightarrow{N}[/tex] che raggiunge il punto P.
La riflessione speculare rispetto alla retta r sara' semplicemente [tex]-\overrightarrow{N}[/tex]
Se a questo vettore sommiamo la proiezione di [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] otteniamo il punto P' opposto a P rispetto a r.
Cioe'
[tex]\overrightarrow{OP'} = 2 \overrightarrow{ur} (\overrightarrow{ur} \cdot \overrightarrow{OP}) -\overrightarrow{OP}[/tex]
Se espliciti il prodotto scalare e scomponi il vettore nelle varie componenti ottieni proprio la matrice di riflessione che ti ho dato.
Se la retta non passa per l'origine, prima si trasla la retta per farla passare per l'origine, quindi si esegue la riflessione, poi si riporta la retta nella sua posizione originale.
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