Matrice di un sistema di vettori rispetto ad una base
Salve a tutti,
volevo cortesemente una spiegazione su come si costruisce, dato \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E\) e \(\cdot_E \), la matrice di un sistema di vettori \( \{v_1,...,v_m\} \) rispetto ad una base \( \{e_1,...,e_n\} \)... ovviamente \( \{v_1,...,v_m\},\{e_1,...,e_n\} \subseteq E \)
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
volevo cortesemente una spiegazione su come si costruisce, dato \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E\) e \(\cdot_E \), la matrice di un sistema di vettori \( \{v_1,...,v_m\} \) rispetto ad una base \( \{e_1,...,e_n\} \)... ovviamente \( \{v_1,...,v_m\},\{e_1,...,e_n\} \subseteq E \)
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Risposte
Salve a tutti,
dato \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), ed \( \{v_1,...,v_m\},\{e_1,...,e_n\} \subseteq E \), ove \( \{e_1,...,e_n\} \) è base di \( E \),la matrice di un sistema di vettori \( \{v_1,...,v_m\} \) rispetto ad una base \( \{e_1,...,e_n\} \)... una matrice del tipo (m;n):
\[ \begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{Vmatrix} \]
quindi l'indice riga è l'indice usato per gli elementi del sistema di vettori e l'indice colonna l'indice usato per gli elementi della base, allora denotando la \(j\)-esima colonna della matrice come \( (a_{1j},...,a_{mj})\) ed l'insieme delle componenti del vettore \( v_i\) rispetto alla base come \( (b_{i1},...,b_{in} ):=[v_i]_{\{e_1,...,e_n\}}\), deve essere verificata che \( (a_{1j},...,a_{mj})= [v_i]_{\{e_1,...,e_n\}}\) preso un qualunque \( i \in \{1,...,m\}, j \in \{1,...,n\} \)... Spero di non aver scritto cavolate.....
dato \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), ed \( \{v_1,...,v_m\},\{e_1,...,e_n\} \subseteq E \), ove \( \{e_1,...,e_n\} \) è base di \( E \),la matrice di un sistema di vettori \( \{v_1,...,v_m\} \) rispetto ad una base \( \{e_1,...,e_n\} \)... una matrice del tipo (m;n):
\[ \begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{Vmatrix} \]
quindi l'indice riga è l'indice usato per gli elementi del sistema di vettori e l'indice colonna l'indice usato per gli elementi della base, allora denotando la \(j\)-esima colonna della matrice come \( (a_{1j},...,a_{mj})\) ed l'insieme delle componenti del vettore \( v_i\) rispetto alla base come \( (b_{i1},...,b_{in} ):=[v_i]_{\{e_1,...,e_n\}}\), deve essere verificata che \( (a_{1j},...,a_{mj})= [v_i]_{\{e_1,...,e_n\}}\) preso un qualunque \( i \in \{1,...,m\}, j \in \{1,...,n\} \)... Spero di non aver scritto cavolate.....
Ciao Garnak.
Cercando su Google `matrice di un sistema di vettori` non ho trovato nulla -a parte il tuo post...
Sicuro tu non voglia parlare della matrice associata ad una mappa lineare?
Cercando su Google `matrice di un sistema di vettori` non ho trovato nulla -a parte il tuo post...
Sicuro tu non voglia parlare della matrice associata ad una mappa lineare?
Salve giuscri,
nono.. non mi riferisco alla matrice associata ad una mappa lineare....
Cordiali saluti
"giuscri":
Ciao Garnak.
Cercando su Google `matrice di un sistema di vettori` non ho trovato nulla -a parte il tuo post...
Sicuro tu non voglia parlare della matrice associata ad una mappa lineare?
nono.. non mi riferisco alla matrice associata ad una mappa lineare....
Cordiali saluti
Salve giuscri,
in sostanza ciò che intendo fare, in altri termni, è costruire una matrice in cui le colonne sono le componenti dei vettori del sistema rispetto alla base...
Cordiali saluti
P.S.=Ho avuto modo di googlare online anch'io, ed ho trovato questo: http://www.****.it/forum/algebra-lineare/25934-matrice-delle-coordinate-di-un-sistema-di-vettori-rispetto-a-una-base.html, però qui mi sembra di capire che non considera le colonne ma le righe... chissà se è la stessa cosa, io preferisco seguire il testo!!
in sostanza ciò che intendo fare, in altri termni, è costruire una matrice in cui le colonne sono le componenti dei vettori del sistema rispetto alla base...
Cordiali saluti
P.S.=Ho avuto modo di googlare online anch'io, ed ho trovato questo: http://www.****.it/forum/algebra-lineare/25934-matrice-delle-coordinate-di-un-sistema-di-vettori-rispetto-a-una-base.html, però qui mi sembra di capire che non considera le colonne ma le righe... chissà se è la stessa cosa, io preferisco seguire il testo!!
Forse ti riferisci al problema seguente?:
ho uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\), e una base fissata \(\mathfrak{B} = \underline{b}_1, \ldots{}, \underline{b}_s\).
Sia \(F_{\mathfrak{B}}\) la seguente applicazione a valori in \(\mathbb{K}^s\):
\begin{array}{ccc}
F_{\mathfrak{B}} : \underline{v} \mapsto {\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \ldots{} & v_s \end{pmatrix}}^T.
\end{array}
dove
\[\underline{v} = v_1 \underline{b}_1 + v_2 \underline{b}_2 + \ldots{} + v_s \underline{b}_s \; .\]
Allora dato un sistema di vettori qualsiasi \(\{\underline{e}_1, \underline{e}_2, \ldots{}, \underline{e}_k\}\) puoi applicare \(F_\mathfrak{B}\) su ogni vettore \(\underline{e}_j\) e costruire la matrice
\[ \begin{pmatrix} F_\mathfrak{B}(\underline{e}_1) & F_\mathfrak{B}(\underline{e}_2)
& \ldots{} &F_\mathfrak{B}(\underline{e}_k) \end{pmatrix} \; \in \mathfrak{M}_{s \times k}\]
dove \(\mathfrak{M}_{s \times k}\) e' lo spazio delle matrici \(s \times k\).
Ti riferisci a questo? Nel caso: che problemi hai?
ho uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\), e una base fissata \(\mathfrak{B} = \underline{b}_1, \ldots{}, \underline{b}_s\).
Sia \(F_{\mathfrak{B}}\) la seguente applicazione a valori in \(\mathbb{K}^s\):
\begin{array}{ccc}
F_{\mathfrak{B}} : \underline{v} \mapsto {\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \ldots{} & v_s \end{pmatrix}}^T.
\end{array}
dove
\[\underline{v} = v_1 \underline{b}_1 + v_2 \underline{b}_2 + \ldots{} + v_s \underline{b}_s \; .\]
Allora dato un sistema di vettori qualsiasi \(\{\underline{e}_1, \underline{e}_2, \ldots{}, \underline{e}_k\}\) puoi applicare \(F_\mathfrak{B}\) su ogni vettore \(\underline{e}_j\) e costruire la matrice
\[ \begin{pmatrix} F_\mathfrak{B}(\underline{e}_1) & F_\mathfrak{B}(\underline{e}_2)
& \ldots{} &F_\mathfrak{B}(\underline{e}_k) \end{pmatrix} \; \in \mathfrak{M}_{s \times k}\]
dove \(\mathfrak{M}_{s \times k}\) e' lo spazio delle matrici \(s \times k\).
Ti riferisci a questo? Nel caso: che problemi hai?
Salve giuscri,
ribadisco, non è richiesto avere a priori o costruirsi una mappa lineare e valutare le immagini di questa.... conosco questa costruzione ma era richiesto diversamente!!!
Per quanto simile sia l'approccio era diverso!!
Cordiali saluti
"giuscri":
Forse ti riferisci al problema seguente?:
ho uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\), e una base fissata \(\mathfrak{B} = \underline{b}_1, \ldots{}, \underline{b}_s\).
Sia \(F_{\mathfrak{B}}\) la seguente applicazione a valori in \(\mathbb{K}^s\):
\begin{array}{ccc}
F_{\mathfrak{B}} : \underline{v} \mapsto {\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \ldots{} & v_s \end{pmatrix}}^T.
\end{array}
dove
\[\underline{v} = v_1 \underline{b}_1 + v_2 \underline{b}_2 + \ldots{} + v_s \underline{b}_s \; .\]
Allora dato un sistema di vettori qualsiasi \(\{\underline{e}_1, \underline{e}_2, \ldots{}, \underline{e}_k\}\) puoi applicare \(F_\mathfrak{B}\) su ogni vettore \(\underline{e}_j\) e costruire la matrice
\[ \begin{pmatrix} F_\mathfrak{B}(\underline{e}_1) & F_\mathfrak{B}(\underline{e}_2)
& \ldots{} &F_\mathfrak{B}(\underline{e}_k) \end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{s \times k}\]
Piccola nota: questa pratica non e' molto diversa, almeno nel farvi conto, a costruire la matrice associata alla mappa lineare ...
Ho fatto centro?
ribadisco, non è richiesto avere a priori o costruirsi una mappa lineare e valutare le immagini di questa.... conosco questa costruzione ma era richiesto diversamente!!!
Per quanto simile sia l'approccio era diverso!!
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
ribadisco, non è richiesto avere a priori o costruirsi una mappa lineare e valutare le immagini di questa.... conosco questa costruzione ma era richiesto diversamente!!!
Chi l'ha detto?... Il tuo problema e' da risolvere in un contesto piu' grande per caso? Nel caso spiega meglio. Altrimenti non vedo perche' tu debba fare a meno di quella macchinetta lineare ...
Ma se ti sta antipatica \(F_\mathfrak{B}\) puoi sempre scriverti le componenti del vettore sul foglietto di brutta e metterle tu in un vettore colonna.
Giusto per ripassare:
"garnak.olegovitc":
volevo cortesemente una spiegazione su come si costruisce, dato \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) la matrice di un sistema di vettori \( \{v_1,...,v_m\} \) rispetto ad una base \( \{e_1,...,e_n\} \)
Anche ripensandoci, sono piuttosto sicuro della risposta che ti ho dato:
hai un sistema di vettori di \(V\), ti scegli una base, esprimi ciascun vettore come combinazione lineare dei vettori della base scelta, filtri le sole componenti, ci costruisci una matrice.
Salve giuscri,
chi l'ha detto? Il mio docente... ho precisato prima che non volevo intendere la matrice associata ad una mappa lineare.. penso di avere chiarito, anche se dopo, in modo esaustivo la consegna:
... in caso contrario cosa vuoi che ti dica? Il docente ci disse di ragionare al di fuori del contesto delle mappe lineari io cercavo di accontentarlo..... io ti ringrazio dell'intervento e della risposta, ma se la consegna non ti garba io non posso farci nnt...
Cordiali saluti
"giuscri":
Chi l'ha detto?... Il tuo problema e' da risolvere in un contesto piu' grande per caso? Nel caso spiega meglio. Altrimenti non vedo perche' tu debba fare a meno di quella macchinetta lineare ...
chi l'ha detto? Il mio docente... ho precisato prima che non volevo intendere la matrice associata ad una mappa lineare.. penso di avere chiarito, anche se dopo, in modo esaustivo la consegna:
... in caso contrario cosa vuoi che ti dica? Il docente ci disse di ragionare al di fuori del contesto delle mappe lineari io cercavo di accontentarlo..... io ti ringrazio dell'intervento e della risposta, ma se la consegna non ti garba io non posso farci nnt...
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
... in caso contrario cosa vuoi che ti dica? Il docente ci disse di ragionare al di fuori del contesto delle mappe lineari io cercavo di accontentarlo..... io ti ringrazio dell'intervento e della risposta, ma se la consegna non ti garba io non posso farci nnt...
Non e' la consegna a non garbarmi, quanto il fatto di non riuscire a chiarirmi ...
Riparto da capo.
Sia \(V\) uno sp.vettoriale di dimensione \(2\), e si scelga di fissare la base \[\mathfrak{B} = \{\underline{b}_1,\,\underline{b}_2\}\,.\]
Si prenda il sistema costituito dai due vettori seguenti:
\[\underline{v} = 2\,\underline{b}_1 + 7\,\underline{b}_2\, ,\; \underline{w} = 1\,\underline{b}_1 + 3\,\underline{b}_2 \]
La matrice di cui parli, relativa al sistema di vettori \(\{\underline{v},\,\underline{w}\}\) rispetto alla base \(\mathfrak{B}\), sarebbe in questo caso
\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 3\end{pmatrix} \]
?
Salve giuscri,
si sarebbe quella!!!
si sarebbe quella!!!
"garnak.olegovitc":
si sarebbe quella!!!
Apprezzerai che si tratta di
\[ \begin{pmatrix} F_\mathfrak{\underline{v}} & F_\mathfrak{\underline{w}} \end{pmatrix} \]
dove \(F_\mathfrak{B}\) e' la tua tanto odiata macchinetta lineare -il cui funzionamento e' stato descritto precedentemente.
Salve giuscri,
in effetti ho sempre apprezzato... tutto sommato è scritto anche qui e sono perfettamente a conoscenza di tale costruzione...
Cordiali saluti
"giuscri":
Apprezzerai che si tratta di
\[ \begin{pmatrix} F_\mathfrak{\underline{v}} & F_\mathfrak{\underline{w}} \end{pmatrix} \]
dove \(F_\mathfrak{B}\) e' la tua tanto odiata macchinetta lineare -il cui funzionamento e' stato descritto precedentemente.
in effetti ho sempre apprezzato... tutto sommato è scritto anche qui
e sono perfettamente a conoscenza di tale costruzione...Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
in effetti ho sempre apprezzato... tutto sommato è scritto anche qui
... Non ho capito se siamo riusciti a risolvere il problema iniziale o no.
Salve giuscri,
... Non ho capito se siamo riusciti a risolvere il problema iniziale o no.[/quote]
privatamente ho già ricevuto conferma della mia osservazione... insomma ho scritto giusto...!!!
Cordiali saluti
P.S.=Solo e soltanto una cosa, l'immagine della mappa lineare sono 2-uple, tu le scrivi verticalmente?
"giuscri":
[quote="garnak.olegovitc"]in effetti ho sempre apprezzato... tutto sommato è scritto anche qui
... Non ho capito se siamo riusciti a risolvere il problema iniziale o no.[/quote]
privatamente ho già ricevuto conferma della mia osservazione... insomma ho scritto giusto...!!!
Cordiali saluti
P.S.=Solo e soltanto una cosa, l'immagine della mappa lineare sono 2-uple, tu le scrivi verticalmente?
"garnak.olegovitc":
privatamente ho già ricevuto conferma della mia osservazione... insomma ho scritto giusto...
Bha ...
P.S.=Solo e soltanto una cosa, l'immagine della mappa lineare sono 2-uple, tu le scrivi verticalmente quindi?
... chiedi privatamente, va'
Ciao!
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