Matrice di cambiamento di base
Buongiorno, ho un esercizio che non sono capace di fare da sottoporvi.
Dice così,
si l'applicazione lineare f definita come
$ f((x),(y),(z)) = ((x),(x+y), (x+y+z)) $
e sia B una generica base uguale a $ ((0),(1),(1)) , ((1),(0), (1)), ((1),(1), (0)) $
Chiede, dopo aver determinato la matrice associata ad f rispetto alla base canonica C (Chiamiamola $A_C$) e alla base B ($A_B$), di trovare la matrice di cambio di base $M_{BC}$.
Ora, $A_C$ è ovviamente $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Mentre $A_B$ dovrebbe essere $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
La relazione tra le matrici dovrebbe essere
$A_B = (M_{CB})^-1 A_C * (M_{CB}) $ ma non riesco a trovare Mcb.
Chi può aiutarmi?
grazie.
Dice così,
si l'applicazione lineare f definita come
$ f((x),(y),(z)) = ((x),(x+y), (x+y+z)) $
e sia B una generica base uguale a $ ((0),(1),(1)) , ((1),(0), (1)), ((1),(1), (0)) $
Chiede, dopo aver determinato la matrice associata ad f rispetto alla base canonica C (Chiamiamola $A_C$) e alla base B ($A_B$), di trovare la matrice di cambio di base $M_{BC}$.
Ora, $A_C$ è ovviamente $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Mentre $A_B$ dovrebbe essere $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
La relazione tra le matrici dovrebbe essere
$A_B = (M_{CB})^-1 A_C * (M_{CB}) $ ma non riesco a trovare Mcb.
Chi può aiutarmi?
grazie.
Risposte
Nessuno??
Non sono espertissimo ma provo a spiegarti dove sbagli.
Quando associ una matrice ad una applicazione lineare quello che fai è fissare due basi per gli spazi vettoriali (in genere la stessa base per entrambi gli spazi) e scrivere nelle colonne della matrice le immagini della base. Nel caso della base canonica per esempio assegni valore 1 alla x e valore 0 alla y e alla z, come del resto hai fatto tu. Se vuoi cambiare base però devi cambiarla (o almeno di solito vuoi cambiarla) in entrambi gli spazi, quello di partenza e quello di arrivo. Con la tua $A_B$, se non sbaglio, tu hai cambiato base solo nello spazio di partenza. Per trovare $A_B$ devi applicare la formula che giustamente hai scritto $A_B=(M_(CB))^-1 A_C (M_(CB))$, quindi hai bisogno di trovare la matrice di cambio base.
Data la base però trovare la matrice di cambio base è immediato, riflettici un attimo: è una matrice sempre invertibile te lo ricordi guardando la formula $A_B=(M_(CB))^-1 A_C (M_(CB))$, quindi ha rango massimo, quindi sia le righe che le COLONNE sono linearmente indipendenti. Ti ricorda niente?
Per il discorso iniziale non sono sicurissimo, mi piacerebbe avere una conferma.
Quando associ una matrice ad una applicazione lineare quello che fai è fissare due basi per gli spazi vettoriali (in genere la stessa base per entrambi gli spazi) e scrivere nelle colonne della matrice le immagini della base. Nel caso della base canonica per esempio assegni valore 1 alla x e valore 0 alla y e alla z, come del resto hai fatto tu. Se vuoi cambiare base però devi cambiarla (o almeno di solito vuoi cambiarla) in entrambi gli spazi, quello di partenza e quello di arrivo. Con la tua $A_B$, se non sbaglio, tu hai cambiato base solo nello spazio di partenza. Per trovare $A_B$ devi applicare la formula che giustamente hai scritto $A_B=(M_(CB))^-1 A_C (M_(CB))$, quindi hai bisogno di trovare la matrice di cambio base.
Data la base però trovare la matrice di cambio base è immediato, riflettici un attimo: è una matrice sempre invertibile te lo ricordi guardando la formula $A_B=(M_(CB))^-1 A_C (M_(CB))$, quindi ha rango massimo, quindi sia le righe che le COLONNE sono linearmente indipendenti. Ti ricorda niente?
Per il discorso iniziale non sono sicurissimo, mi piacerebbe avere una conferma.
"Jason":
Data la base però trovare la matrice di cambio base è immediato.
Avevo pensato, ma non l'ho scritto perchè tanto non mi tornavano i conti, che la matrice di cambio base C potesse semplicemente essere:
$ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $
che è simmetrica e invertibile.
In ogni caso se come dici tu $A_b$ si trova dopo aver trovato la matrice C è abbastanza facile, ma questo mi apre un sacco di dubbi dal momento che il procedimento seguito per trovare Ab l'ho più volte usato correttamente. Ho sempre fatto giusto per caso?
Per la cronaca il risultato è questo:
[url]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28inverse+matrix+{{0%2C1%2C1}+%2C+{1%2C0%2C1}+%2C+{1%2C1%2C0}}%29+*+{{1%2C0%2C0}+%2C+{1%2C1%2C0}+%2C+{1%2C1%2C1}+}+*+{{0%2C1%2C1}+%2C+{1%2C0%2C1}+%2C+{1%2C1%2C0}}
[/url]
La matrice di cambio base ha nelle colonne i vettori della nuova base, come hai scritto.
Forse il problema deriva dalla notazione. Chiamiamo $M_(C C)$ la matrice che tu hai chiamato $A_C$. Questa è infatti la matrice associata all'applicazione lineare che si ottiene fissando per i due spazi la base canonica ($C C=$ da canonica a canonica, come $CB=$ da canonica ad altra base). Quella che ottieni, che hai chiamato $A_b$, è meglio se la chiamiamo $M_(BB)$ quindi $M_(BB)= (M_(CB))^-1 M_(C C) (M_(CB))$.
Ora, cos'è $A_B$? Io ho un dubbio colossale su questo, forse è $M_(BC)$ ma potrebbe essere una cavolata enorme. Spero che qualcuno passi di qua e lo spieghi anche a me
EDIT: non è $M_(BC)$
Forse il problema deriva dalla notazione. Chiamiamo $M_(C C)$ la matrice che tu hai chiamato $A_C$. Questa è infatti la matrice associata all'applicazione lineare che si ottiene fissando per i due spazi la base canonica ($C C=$ da canonica a canonica, come $CB=$ da canonica ad altra base). Quella che ottieni, che hai chiamato $A_b$, è meglio se la chiamiamo $M_(BB)$ quindi $M_(BB)= (M_(CB))^-1 M_(C C) (M_(CB))$.
Ora, cos'è $A_B$? Io ho un dubbio colossale su questo, forse è $M_(BC)$ ma potrebbe essere una cavolata enorme. Spero che qualcuno passi di qua e lo spieghi anche a me
EDIT: non è $M_(BC)$
Ho capito cosa intendi...
dal momento che Mbc e Mcc credi siano giusti, l'unica è pensare che quello che l'esercizio chiama Ab non sia la stessa cosa di Mbb.
In realtà avrebbe anche senso dal momento che l'ultimo punto chiede di trovare la relazione tra Mbc Mcc=Ac e Ab...e a questo punto la difficoltà si riduce a questo, se Mbb non è Ab, che relazione c'è tra le due?
dal momento che Mbc e Mcc credi siano giusti, l'unica è pensare che quello che l'esercizio chiama Ab non sia la stessa cosa di Mbb.
In realtà avrebbe anche senso dal momento che l'ultimo punto chiede di trovare la relazione tra Mbc Mcc=Ac e Ab...e a questo punto la difficoltà si riduce a questo, se Mbb non è Ab, che relazione c'è tra le due?
Attento però, lasciamo fuori la matrice $M_(BC)$ per ora, ricominciamo da capo. Quello che sto dicendo è che se ho un certo vettore $\vec w$ scritto rispetto alla base canonica e lo voglio scrivere rispetto alla base $B$, e quindi voglio trovare $\vec w_b$, allora la formula è $\vec w= (M_(CB)) * \vec w_b$, e il passaggio opposto si fa con $(M_(CB))^-1$, dove $M_(CB)$ è la matrice di cambio base. La formula per trovare $M_(BB)$ serve per trovare questa matrice che cambia l'intera applicazione lineare, riferendo i vettori dello spazio di arrivo e di partenza alla base $B$ e non più a quella canonica.
$M_(BC)$ credo sia semplicemente $(M_(CB))^-1$, e $A_B$ non te lo so dire con precisione, è meglio aspettare qualcuno più competente.
$M_(BC)$ credo sia semplicemente $(M_(CB))^-1$, e $A_B$ non te lo so dire con precisione, è meglio aspettare qualcuno più competente.
Scusate, ma a che punto siete? Non riesco a capirlo bene ...
Poi sei sicuro del testo dell'esercizio?... O per lo meno di come e' stato inteso (sono sincero).
Se fosse come dici tu, dovresti trovare
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{C} } (f) \]
poi
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{B} } (f) \]
e poi trovare la matrice di cambiamento di base da \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\) --o al contrario?, cioe'
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{C} } ( \operatorname{ Id } ) \]
e bona, ti porti a casa l'esercizio.
Quello che sospetto pero' e' che probabilmente la matrice a cui si faceva riferimento all'inizio era \( \mathcal{M}_{ \mathcal{B} to \mathcal{C} } \) --o \( \mathcal{M}_{ \mathcal{C} to \mathcal{B} } \).
Hai il testo con te? Se si, riportalo
___
Si ricordi che vale
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{C} } (f) = \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{B} } ( \operatorname{ Id } ) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{B} } (f) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{C} } ( \operatorname{ Id } ) \]
EDIT: corretto refuso nell'ultima relazione scritta.
Poi sei sicuro del testo dell'esercizio?... O per lo meno di come e' stato inteso (sono sincero).
Se fosse come dici tu, dovresti trovare
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{C} } (f) \]
poi
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{B} } (f) \]
e poi trovare la matrice di cambiamento di base da \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\) --o al contrario?, cioe'
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{C} } ( \operatorname{ Id } ) \]
e bona, ti porti a casa l'esercizio.
Quello che sospetto pero' e' che probabilmente la matrice a cui si faceva riferimento all'inizio era \( \mathcal{M}_{ \mathcal{B} to \mathcal{C} } \) --o \( \mathcal{M}_{ \mathcal{C} to \mathcal{B} } \).
Hai il testo con te? Se si, riportalo
___
Si ricordi che vale
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{C} } (f) = \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{B} } ( \operatorname{ Id } ) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{B} } (f) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{C} } ( \operatorname{ Id } ) \]
EDIT: corretto refuso nell'ultima relazione scritta.
Questo è il testo:
"pollo93":
Questo è il testo
Ok, allora no problema. Ti ricordo (per l'ultima domanda) che
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{B} } ( \operatorname{ Id } ) = (\mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{C} } ( \operatorname{ Id } ) )^{-1} \]
(vedi pg.14 di questo documento per esempio --proposizione 3.334, su come si incollano tutte quelle porcherie-- e il lemma 3.34 a pg. 17).
Ciao innanzitutto grazie dell'aiuto.
Il problema però resta.
La relazione che hai scritto è, credo, l'analoga di quella che ho scritto io nel primo post (la tua è al contrario, ma che cambia?)
$A_B = (M_{CB})^-1 A_C * (M_{CB}) $ (MIA)
Le ho provate tutte e due perchè in fondo non sono del tutto certo che siano uguali ma i conti non tornano comunque. Intendo dire che se è vera quella relazione e sono giuste le quattro matrici (o meglio: le tre matrici, più l'inversa di una), andando a fare i conti ad una ad una dovrebbero risultare gli stessi numeri.
L'ipotesi che abbia sbagliato i calcoli la escludo perchè ho usato Wolfram, dunque non posso che aver sbagliato a ricavare le tre matrici.
Ora, ricapitolando:
Mcc(f)= $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Mbb(f) = $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
e soprattutto, e sono certo che l'errore stia qui:
Mbc(Id) = $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $
Il problema però resta.
La relazione che hai scritto è, credo, l'analoga di quella che ho scritto io nel primo post (la tua è al contrario, ma che cambia?)
"giuscri":(TUA)
\[ \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{C} } (f) = \mathcal{M}_{ \mathcal{C} \to \mathcal{B} } ( \operatorname{ Id } ) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{B} } (f) \cdot \mathcal{M}_{ \mathcal{B} \to \mathcal{C} } ( \operatorname{ Id } ) \]
$A_B = (M_{CB})^-1 A_C * (M_{CB}) $ (MIA)
Le ho provate tutte e due perchè in fondo non sono del tutto certo che siano uguali ma i conti non tornano comunque. Intendo dire che se è vera quella relazione e sono giuste le quattro matrici (o meglio: le tre matrici, più l'inversa di una), andando a fare i conti ad una ad una dovrebbero risultare gli stessi numeri.
L'ipotesi che abbia sbagliato i calcoli la escludo perchè ho usato Wolfram, dunque non posso che aver sbagliato a ricavare le tre matrici.
Ora, ricapitolando:
Mcc(f)= $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Mbb(f) = $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
e soprattutto, e sono certo che l'errore stia qui:
Mbc(Id) = $ ( ( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $
"pollo93":
[...] dunque non posso che aver sbagliato a ricavare le tre matrici.
\[ \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} (f) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} \]
Ma questa cosa sarebbe?
Ti ricordo che per costruire la colonna i-esima di \( \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} (f) \) devi prendere l'elemento i-esimo della base \( \mathcal{B} \), trovarne l'immagine, e scrivere in verticale le coordinate di quest'ultima --espressa in termini di combinazione lineare dei vettori di \( \mathcal{B} \).
Per esempio, per ottenere la prima colonna di \( \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} (f) \):
\[ f \, \mathbf{b}_1 = f \, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \equiv 3/2 \cdot \mathbf{b}_1 + 1/2 \cdot \mathbf{b}_2 -1/2 \cdot \mathbf{b}_3 \]
Quindi \( \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} (f) \) sara' qualcosa del tipo
\[ \begin{bmatrix} 3/2 & a_{12} & a_{13} \\ 1/2 & a_{22} & a_{23} \\ -1/2 & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]
Ti risulta? E' il modo in cui --almeno tipicamente, per quanto ne so io-- si costruisce la matrice associata ad un'applicazione lineare. In maniera piu' generale, se \( F_{\mathcal{B}} : \mathbb{K}^3 \to \mathbb{K}^3 \) associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto alla base \( \mathcal{B} \), si ha
\[ \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} (f) = \begin{bmatrix} F_{\mathcal{B}}(\mathbf{b}_1) & F_{\mathcal{B}}(\mathbf{b}_2) & F_{\mathcal{B}}(\mathbf{b}_3) \end{bmatrix} \]
EDIT: non ho controllato se e' sbagliata anche \( \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{C} } (\operatorname{id} ) \), ma se cosi' fosse ...come sopra: per avere la colonna i-esima di \( \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{C} } ( \operatorname{id}) \), applichi la funzione identita' a \( \mathbf{b}_i \in \mathcal{B} \), esprimi l'immagine in termini di \( \mathcal{C} \), ti piji le coordinate dell'immagine, le metti in colonna. Questo detto in maniera maldestra, ovviamente; se ci pensi un po', se riempi qualche foglio di matrici, ti tornera' chiaro il perche' questa zozzeria e' la matriceassociata.
Qualcosa del tipo...
$ ( ( 3/2 , 1 , 3/2 ),( 1/2 , 1 , 1/2 ),( -1/2 , 0 , 1/2 ) ) $
Che è esattamente quello che mi viene da due giorni, ma considero sbagliato!!!
Fantastico, quindi ho capito dove sbagliavo: avevo una matrice Abb sbagliata e quindi nonostante le altre matrici e la relazione finale fossero giuste, non mi veniva nulla.
Ora tutto quadra.
Grazie mille!!
$ ( ( 3/2 , 1 , 3/2 ),( 1/2 , 1 , 1/2 ),( -1/2 , 0 , 1/2 ) ) $
Che è esattamente quello che mi viene da due giorni, ma considero sbagliato!!!
Fantastico, quindi ho capito dove sbagliavo: avevo una matrice Abb sbagliata e quindi nonostante le altre matrici e la relazione finale fossero giuste, non mi veniva nulla.
Ora tutto quadra.
Grazie mille!!
"pollo93":
Grazie mille!!
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