Matrice di applicazione lineare
Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $QQ$ dei numeri razionali e sia $dim V =4$ e $dim W=3$.
Si dica se esiste un'applicazione lineare $\phi : V rarr W$, che soddisfi alle condizioni:
$\phi(v_1 -2v_2) = \phi (3v_3 -v_4) =w _1 -w_2$
$\phi(v_1 +v_4) =\phi (2v_2+3V_3) =w_2 - w_3$
Scrivere tutte le matrici $\alpha_{V,W}(\phi)$ di tutte le applicazioni lineari e soddisfacenti a tali condizioni.
Si tratta di una sottovarietà lineare di $A (Hom_(QQ) (V,W))$? Se sì, di quale dimensione?
$(v_1 -2v_2)$, $ (3v_3 -v_4)$, $(v_1 +v_4)$, $ (2v_2+3V_3)$ sono linearmente indipendenti quindi esiste una tale $\phi$ ma non riesco a determinare univocamente il valore dell'applicazione in $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$.
Chiamo $V'$ un'altra base di V. quindi
$\{(v'_1=v_1), (\frac{v'_2=3v_3 -v_4}{2}), (\frac{v'_3=v_1+v_4}{3}), (v'_4=2v_2 +3v_3):}$ da cui trovo
$\{(v_1=v'_1), (v_2=v'_1 -v'_2 -v'_3 +v'_4), (v_3= v'_3 -v'_1 +v'_2), (v_4 =v'_3 -v'_1):}$
da cui determino la matrice di cambiamento di base
$alpha_{V,V'} = ((1,1/2,-1/3, -1), (0,-1/2,1/3,0),(0,-1/2,1/3,1),(0,1/2,0,0))$
e poi mi blocco...
qualcuno sa aiutarmi?
Si dica se esiste un'applicazione lineare $\phi : V rarr W$, che soddisfi alle condizioni:
$\phi(v_1 -2v_2) = \phi (3v_3 -v_4) =w _1 -w_2$
$\phi(v_1 +v_4) =\phi (2v_2+3V_3) =w_2 - w_3$
Scrivere tutte le matrici $\alpha_{V,W}(\phi)$ di tutte le applicazioni lineari e soddisfacenti a tali condizioni.
Si tratta di una sottovarietà lineare di $A (Hom_(QQ) (V,W))$? Se sì, di quale dimensione?
$(v_1 -2v_2)$, $ (3v_3 -v_4)$, $(v_1 +v_4)$, $ (2v_2+3V_3)$ sono linearmente indipendenti quindi esiste una tale $\phi$ ma non riesco a determinare univocamente il valore dell'applicazione in $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$.
Chiamo $V'$ un'altra base di V. quindi
$\{(v'_1=v_1), (\frac{v'_2=3v_3 -v_4}{2}), (\frac{v'_3=v_1+v_4}{3}), (v'_4=2v_2 +3v_3):}$ da cui trovo
$\{(v_1=v'_1), (v_2=v'_1 -v'_2 -v'_3 +v'_4), (v_3= v'_3 -v'_1 +v'_2), (v_4 =v'_3 -v'_1):}$
da cui determino la matrice di cambiamento di base
$alpha_{V,V'} = ((1,1/2,-1/3, -1), (0,-1/2,1/3,0),(0,-1/2,1/3,1),(0,1/2,0,0))$
e poi mi blocco...
qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Essendo [tex]\phi[/tex] un'applicazione lineare hai il seguente sistema di equazioni lineari, ove le incognite sono le immagini mediante [tex]\phi[/tex] dei vettori di una base di [tex]V[/tex] in [tex]W[/tex]:
[tex]\begin{cases}\phi(v_1)-2\phi(v_2)=w_1-w_2\\3\phi(v_3)-\phi(v_4)=w_1-w_2\\ \phi(v_1)+\phi(v_4)=w_2-w_3\\2\phi(v_2)+3\phi(v_3)=w_2-w_3\end{cases}[/tex]
risolvendolo dovresti determinare le immagini suddette e quindi [tex]\phi[/tex].
[tex]\begin{cases}\phi(v_1)-2\phi(v_2)=w_1-w_2\\3\phi(v_3)-\phi(v_4)=w_1-w_2\\ \phi(v_1)+\phi(v_4)=w_2-w_3\\2\phi(v_2)+3\phi(v_3)=w_2-w_3\end{cases}[/tex]
risolvendolo dovresti determinare le immagini suddette e quindi [tex]\phi[/tex].
quindi ottengo
$\phi(v_1) =w_1 - w_2 +\phi(v_2)$
$\phi(v_3)= w_2/3 - w_3/3 +2/3\phi(v_2)$
$\phi(v_4) =-w_1 +2w_2 -w_3 -2\phi(v_2)$
$\phi(v_2)$ (di cui non riesco ad ottenere il valore)
quindi pongo $\phi(v_2) =aw_1 +bw_2 +cw_3$
e scrivo la matrice $A=\alpha_{V,W}(\phi) =((1,0,0,-1),(-1,0,1/3,2),(0,0,-1/3,-1))+((6a,3a,-2a,-6a),(6b,3b,-2b,-6b),(6c,3c,-2c,-6c))$
è giusto così?
$\phi(v_1) =w_1 - w_2 +\phi(v_2)$
$\phi(v_3)= w_2/3 - w_3/3 +2/3\phi(v_2)$
$\phi(v_4) =-w_1 +2w_2 -w_3 -2\phi(v_2)$
$\phi(v_2)$ (di cui non riesco ad ottenere il valore)
quindi pongo $\phi(v_2) =aw_1 +bw_2 +cw_3$
e scrivo la matrice $A=\alpha_{V,W}(\phi) =((1,0,0,-1),(-1,0,1/3,2),(0,0,-1/3,-1))+((6a,3a,-2a,-6a),(6b,3b,-2b,-6b),(6c,3c,-2c,-6c))$
è giusto così?
Ammessa la correttezza dei conti, risulta: [tex]-2\phi(v_2)=w_1-w_2-\phi(v_1)=\hdots=\underline0\Rightarrow\phi(v_2)=\underline0[/tex].
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