Matrice delle rotazioni nel piano
Salve a tutti, una domanda:
la classica matrice della trasformazione antioraria nel piano è un gruppo?
Per quanto riguarda l'operazione di somma componente per componente, si può dire che l'operazione sia definita? Ossia che sommando componente per componente due elementi dell'insieme di matrici considerato, si ottiene un elemento appartenente allo stesso insieme?
Mi servirebbe solo togliermi questi due dubbi, non mi serve lo svolgimento.
Grazie a tutti.
SaturnV
la classica matrice della trasformazione antioraria nel piano è un gruppo?
Per quanto riguarda l'operazione di somma componente per componente, si può dire che l'operazione sia definita? Ossia che sommando componente per componente due elementi dell'insieme di matrici considerato, si ottiene un elemento appartenente allo stesso insieme?
Mi servirebbe solo togliermi questi due dubbi, non mi serve lo svolgimento.
Grazie a tutti.
SaturnV
Risposte
Sì, l'insieme delle matrici del piano che rappresentano rotazioni (= matrici ortogonali) sono un gruppo rispetto al prodotto. Sono caratterizzate dall'avere determinante $+-1$, quindi essendo $det (AB) = det(A) det(B) = +-1 * +-1 = +-1$ quindi anche il prodotto ha determinante $+-1$.
Inoltre, le matrici che hanno determinante 1 sono un sottogruppo detto ortogonale speciale.
Inoltre, le matrici che hanno determinante 1 sono un sottogruppo detto ortogonale speciale.
"zorn":
Sì, l'insieme delle matrici del piano che rappresentano rotazioni (= matrici ortogonali) sono un gruppo rispetto al prodotto. Sono caratterizzate dall'avere determinante $+-1$, quindi essendo $det (AB) = det(A) det(B) = +-1 * +-1 = +-1$ quindi anche il prodotto ha determinante $+-1$.
Scusa ma quello che hai scritto è sbagliato.
Le matrici di rotazione nel piano hanno determinante uguale a $1$.
Sono del tipo:
$R = ((cos \alpha), (sin \alpha); (-sin \alpha) , (cos \alpha))$.
Le matrici che rappresentano le simmetrie hanno invece determinante uguale a $-1$.
Sono del tipo:
$S = ((cos \alpha), (sin \alpha); (sin \alpha) , (-cos \alpha))$.
Ma come si scrivono le matrici in questo forum?
Francesco Daddi
Per matrici ortogonali si intendono quelle matrici che hanno la proprietà di avere l'inversa uguale alla
matrice trasposta.
Per le matrici $2 \times 2$ le matrici ortogonali sono del tipo $R$ o $S$ (si veda il mio precedente messaggio).
Non basta dire che hanno il determinante uguale a $\pm 1$.
Francesco Daddi
matrice trasposta.
Per le matrici $2 \times 2$ le matrici ortogonali sono del tipo $R$ o $S$ (si veda il mio precedente messaggio).
Non basta dire che hanno il determinante uguale a $\pm 1$.
Francesco Daddi
Sei sicuro? Mi sembrava che il valore assoluto del determinante fosse 1...
Comunque nella guida dice come scrivere le matrici (io non mi ci sono applicato più di tanto però)
Comunque nella guida dice come scrivere le matrici (io non mi ci sono applicato più di tanto però)
Allora facciamo ordine:
una matrice che ha determinante $1$ non è necessariamente una matrice ortogonale.
Prendi ad esempio la matrice
$A = ((1),(1) ; (0),(1))$
ha det. = 1 ma non è ortogonale.
Avere il determinante uguale a $\pm 1$ significa che l'area della figura
trasformata è uguale a quella di partenza.
Le matrici di rotazione hanno det = 1
Le matrici di simmetria hanno det = -1
Francesco Daddi
una matrice che ha determinante $1$ non è necessariamente una matrice ortogonale.
Prendi ad esempio la matrice
$A = ((1),(1) ; (0),(1))$
ha det. = 1 ma non è ortogonale.
Avere il determinante uguale a $\pm 1$ significa che l'area della figura
trasformata è uguale a quella di partenza.
Le matrici di rotazione hanno det = 1
Le matrici di simmetria hanno det = -1
Francesco Daddi
Ho dei dubbi sulla domanda.
Stai chiedendo se una certa matrice è un gruppo (domanda strana..) o se un certo insieme di matrici è un gruppo?
In generale le matrici di rotazione non si comportano bene rispetto alla somma, ma rispetto al prodotto (che equivale alla composizione), sì.
@franced: per fare le matrici devi usare solo parentesi tonde e virgole, e procedere per righe. Per esempio fai ((1,0),(0,1)) per la matrice identica 2x2.
"SaturnV":
la classica matrice della trasformazione antioraria nel piano è un gruppo?
Stai chiedendo se una certa matrice è un gruppo (domanda strana..) o se un certo insieme di matrici è un gruppo?
Per quanto riguarda l'operazione di somma componente per componente, si può dire che l'operazione sia definita? Ossia che sommando componente per componente due elementi dell'insieme di matrici considerato, si ottiene un elemento appartenente allo stesso insieme?
In generale le matrici di rotazione non si comportano bene rispetto alla somma, ma rispetto al prodotto (che equivale alla composizione), sì.
@franced: per fare le matrici devi usare solo parentesi tonde e virgole, e procedere per righe. Per esempio fai ((1,0),(0,1)) per la matrice identica 2x2.
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