Matrice definita positiva e complemento di Shur
Salve,
ho un dubbio su alcuni lemmi di algebra lineare che mi stanno incasinando parecchio.
1) Lemma 1:
Ogni matrice definita positiva non è singolare.
Dimostrazione:
Supponiamo che una matrice A sia singolare. Allora esiste un vettore $x$ non nullo tale che $Ax=0$. quindi $x^TAx=0$, e allora A non può essere una matrice definita positiva.
Domanda: ma questa dimostrazione è corretta? Ma se la definizione di matrice singolare è che deve evere un vettore nullo, $x$ deve essere nullo.
2) Lemma 2:
Sia A una matrice simmetrice e definita positiva; sia $A_k$ una sottomatrice principale A di ordine k. Dividiamo A in Questo modo:
$A = ((A_k,B^T),(B,C))$
Genaralizzando il complemento di Shur di A riespetto ad $A_k$ in questo modo:
$S = C - B*A_k^-1*B^T$
Domanda: qua mi sembra sbagliato S, dal complemento di Shur per le matrici es http://it.wikipedia.org/wiki/Complemento_di_Schur mi sembra che siano sbagliate le operazioni, cioè sono invertite C è al posto di A (wiki).
3) Lemma del complemento di Shur e Dimostrazione:
mi spiace di incollare un'immagine, ma il testo è lungo, è solo un passaggio matematico che non capisco, perdonatemi se potete:
è quello in rosso, non capisco come si faccia ad arrivare li dal passaggio prima, quello prima è il prodotto tra matrici banale e quello rosso? Una sostituzione per l'induzione?
Spero sappiate aiutarmi almeno su un lemma, gli altri sono implicazioni l'uno dell'altro.
Ringrazio davvero chi aiuta
PS: se l'immagine è troppo grande o non si possono caricare immagini ditelo pure che o ne carico una più piccola o riscrivo il testo.
ho un dubbio su alcuni lemmi di algebra lineare che mi stanno incasinando parecchio.
1) Lemma 1:
Ogni matrice definita positiva non è singolare.
Dimostrazione:
Supponiamo che una matrice A sia singolare. Allora esiste un vettore $x$ non nullo tale che $Ax=0$. quindi $x^TAx=0$, e allora A non può essere una matrice definita positiva.
Domanda: ma questa dimostrazione è corretta? Ma se la definizione di matrice singolare è che deve evere un vettore nullo, $x$ deve essere nullo.
2) Lemma 2:
Sia A una matrice simmetrice e definita positiva; sia $A_k$ una sottomatrice principale A di ordine k. Dividiamo A in Questo modo:
$A = ((A_k,B^T),(B,C))$
Genaralizzando il complemento di Shur di A riespetto ad $A_k$ in questo modo:
$S = C - B*A_k^-1*B^T$
Domanda: qua mi sembra sbagliato S, dal complemento di Shur per le matrici es http://it.wikipedia.org/wiki/Complemento_di_Schur mi sembra che siano sbagliate le operazioni, cioè sono invertite C è al posto di A (wiki).
3) Lemma del complemento di Shur e Dimostrazione:
mi spiace di incollare un'immagine, ma il testo è lungo, è solo un passaggio matematico che non capisco, perdonatemi se potete:
è quello in rosso, non capisco come si faccia ad arrivare li dal passaggio prima, quello prima è il prodotto tra matrici banale e quello rosso? Una sostituzione per l'induzione?
Spero sappiate aiutarmi almeno su un lemma, gli altri sono implicazioni l'uno dell'altro.
Ringrazio davvero chi aiuta
PS: se l'immagine è troppo grande o non si possono caricare immagini ditelo pure che o ne carico una più piccola o riscrivo il testo.
Risposte
Ciao.
Per il lemma 1 ti posso dire questo: se - per assurdo - la matrice $A$ fosse singolare (determinante di $A=0$), allora ammetterebbe autovalore 0 (mi pare evidente questo, sei d'accordo?). Ma se ammette autovalore nullo allora non può essere definita (al massimo semidefinita, se ti va bene che gli altri autovalori hanno lo stesso segno). Hai capito?
Per il lemma 1 ti posso dire questo: se - per assurdo - la matrice $A$ fosse singolare (determinante di $A=0$), allora ammetterebbe autovalore 0 (mi pare evidente questo, sei d'accordo?). Ma se ammette autovalore nullo allora non può essere definita (al massimo semidefinita, se ti va bene che gli altri autovalori hanno lo stesso segno). Hai capito?
Dimostrazione del Lemma del complemento di Shur.
Dal testo è già assodato che $B(A_k)^(-1)B^T$ è simmetrica e pertanto $B(A_k)^(-1)B^T=(B(A_k)^(-1)B^T)^T=B((A_k)^(-1))^TB^T$.
Sempre dal testo sai che $A_k$ è simmetrica e quindi $A_k=(A_k)^T$ e di conseguenza $((A_k)^(-1))^T(A_k)=((A_k)^(-1))^T(A_k)^T=((A_k)(A_k)^(-1))^T=I$ con $I$ intendo la matrice unità.
Nella quantità $y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TBy+z^TCz$ aggiungiamo e sottraiamo la stessa quantità, più precisamente aggiungiamo $z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz$ e sottraiamo $z^TB(A_k)^(-1)B^Tz$, inoltre scriviamo $z^TBy$ come $z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y$.
Abbiamo: $y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TBy+z^TCz=$
$=y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^TCz+z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz-z^TB(A_k)^(-1)B^Tz$
Subito vediamo che $z^TCz-z^TB(A_k)^(-1)B^Tz=z^T(C-B(A_k)^(-1)B^T)z$
Resta da sistemare
$y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz$
Il trucco consiste nel fare comparire in ogni addendo il termine $A_k$ visto che poi lo si dovrà opportunamente raccogliere e nel rappresentare $B$ in termini di trasposta dove occorra, quindi
$y^TB^Tz$ lo scrivo come $y^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz$
$z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y$ lo scrivo come $z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T(A_k)y$ poichè $B=(B^T)^T$
$z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz$ lo scrivo come $z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz$
Ho quindi $y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz=$
$=y^TA_ky+y^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz+z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz$
e come ho scritto prima raccolgo centralmente $A_k$ottenendo:
$y^TA_k(y+(A_k)^(-1)B^Tz)+z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T(A_k)(y+(A_k)^(-1)B^Tz)$
Osservato ora che è $z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T=((A_k)^(-1)B^Tz)^T$
abbiamo subito la quantità richiesta.
Come vedi l'induzione non compare nei miei calcoli. Ciao
Dal testo è già assodato che $B(A_k)^(-1)B^T$ è simmetrica e pertanto $B(A_k)^(-1)B^T=(B(A_k)^(-1)B^T)^T=B((A_k)^(-1))^TB^T$.
Sempre dal testo sai che $A_k$ è simmetrica e quindi $A_k=(A_k)^T$ e di conseguenza $((A_k)^(-1))^T(A_k)=((A_k)^(-1))^T(A_k)^T=((A_k)(A_k)^(-1))^T=I$ con $I$ intendo la matrice unità.
Nella quantità $y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TBy+z^TCz$ aggiungiamo e sottraiamo la stessa quantità, più precisamente aggiungiamo $z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz$ e sottraiamo $z^TB(A_k)^(-1)B^Tz$, inoltre scriviamo $z^TBy$ come $z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y$.
Abbiamo: $y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TBy+z^TCz=$
$=y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^TCz+z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz-z^TB(A_k)^(-1)B^Tz$
Subito vediamo che $z^TCz-z^TB(A_k)^(-1)B^Tz=z^T(C-B(A_k)^(-1)B^T)z$
Resta da sistemare
$y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz$
Il trucco consiste nel fare comparire in ogni addendo il termine $A_k$ visto che poi lo si dovrà opportunamente raccogliere e nel rappresentare $B$ in termini di trasposta dove occorra, quindi
$y^TB^Tz$ lo scrivo come $y^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz$
$z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y$ lo scrivo come $z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T(A_k)y$ poichè $B=(B^T)^T$
$z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz$ lo scrivo come $z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz$
Ho quindi $y^TA_ky+y^TB^Tz+z^TB((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^TB((A_k)^(-1))^TB^Tz=$
$=y^TA_ky+y^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz+z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T(A_k)y+z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^TA_k(A_k)^(-1)B^Tz$
e come ho scritto prima raccolgo centralmente $A_k$ottenendo:
$y^TA_k(y+(A_k)^(-1)B^Tz)+z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T(A_k)(y+(A_k)^(-1)B^Tz)$
Osservato ora che è $z^T(B^T)^T((A_k)^(-1))^T=((A_k)^(-1)B^Tz)^T$
abbiamo subito la quantità richiesta.
Come vedi l'induzione non compare nei miei calcoli. Ciao
Vi ringrazio davvero molto, ma tanto :)
Il lemma del complemento di shur devo ricalcolarmelo per capire la dimostrazione, molto ben fatta la scrittura che senza non capivo quel dannato passaggio. Grazie.
Lemma 1:
solo una cosa:
intendi non può essere definita POSITIVA la matrice, o non può essere definita la matrice stessa?
La dimostrazione che scrivi è per una generica matrice A, o una matrice A definita positiva? Perchè se non mi faccio un input scorretto.
Grazie mille :))
Il lemma del complemento di shur devo ricalcolarmelo per capire la dimostrazione, molto ben fatta la scrittura che senza non capivo quel dannato passaggio. Grazie.
Lemma 1:
solo una cosa:
...non può essere definita...
intendi non può essere definita POSITIVA la matrice, o non può essere definita la matrice stessa?
La dimostrazione che scrivi è per una generica matrice A, o una matrice A definita positiva? Perchè se non mi faccio un input scorretto.
Grazie mille :))
"ham_burst":
Lemma 1:
solo una cosa:
[quote="Paolo90"]...non può essere definita...
intendi non può essere definita POSITIVA la matrice, o non può essere definita la matrice stessa?
La dimostrazione che scrivi è per una generica matrice A, o una matrice A definita positiva? Perchè se non mi faccio un input scorretto.
Grazie mille
)[/quote]Ho volutamente omesso l'aggettivo positiva (ma sì intendevo questo). Il punto è che se la tua matrice ha autovalore $0$, allora non può essere nè definita positiva nè definita negativa, ma al massimo semidefinita positiva o semidefinita negativa (se gli altri autovalori sono concordi). E' per questo che non ho scritto positiva: il tutto vale in maniera analoga per il negativo.
Hai capito adesso?
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