Matrice definita positiva: chiarimenti
In un post di questo forum è stato concluso che la definizione matrice definita positiva è applicabile a sole matrici simmetriche o Hermitiane ma ho appurato che così non è perchè sto sudiando per la tesi un articolo in cui si implementa un metodo iterativo per risolvere sistemi reali definiti postitivi ma non simmetrici o Hermitiani. Dunque la domanda è questa: le proprietà delle matrici definite positive e Hermitiame (quali: tutti gli autovalori sono positivi oppure per ogni vettore non nullo il prodotto scalare tra $(Av,v)>0$) valgono anche per le matrici definite positive ma non Hermitiane??
Risposte
Ma che significa: matrice definita positiva non Hermitiana? Io direi che, per definizione, una matrice $A$ (quadrata $ntimesn$) si dirà definita positiva se e solo se $v^HAv>0$ per ogni vettore $v\inCC^n$ non nullo.
Se siamo d'accordo sulle definizioni, possiamo andare avanti: mi pare di ricordare che una matrice come la $A$ di sopra si dimostra essere necessariamente Hermitiana. Ma non sono per nulla sicuro di questo. Visto che tu non sei d'accordo potresti postare un esempio di matrice definita positiva e non Hermitiana?
Se siamo d'accordo sulle definizioni, possiamo andare avanti: mi pare di ricordare che una matrice come la $A$ di sopra si dimostra essere necessariamente Hermitiana. Ma non sono per nulla sicuro di questo. Visto che tu non sei d'accordo potresti postare un esempio di matrice definita positiva e non Hermitiana?
Di sicuro se una matrice è definita positiva non è detto che sia simmetrica perchè ho qui di fronte un articolo matematico incentrato sulle matrici definite positive ma non simmetriche. Altrimenti starei facendo la tesi sul nulla. Sono ancora all'inizio, lo sto studiando da poco più di una setimana e non vedo nelle pagine seguenti degli esempi concreti, dopodomani ho l'appuntamento con la relatrice. Lo chiedo a lei.
Vediamo un esempio.
In $RR^2$, magari.
Ho preso una matice A qualsiasi e moltiplicando a sx per (x,y) e a destra per (x,y) [trasposta] mi viene:
$a_(11) x^2 + a_(12) xy + a_(21) xy + a_(22) y^2$
Quindi basta prendere 1 sulla diagonale e mettere elementi opposti sull'antidiagonale.
Marty84, come vedi non era difficile farsi un "esempio concreto"...
Un suggerimento da anziano: cerca di tovarti esempi su cui riflettere e lavorare, se oltre che fare la tesi per laurearti ti inteessa capirci qualcosa sul serio.
In $RR^2$, magari.
Ho preso una matice A qualsiasi e moltiplicando a sx per (x,y) e a destra per (x,y) [trasposta] mi viene:
$a_(11) x^2 + a_(12) xy + a_(21) xy + a_(22) y^2$
Quindi basta prendere 1 sulla diagonale e mettere elementi opposti sull'antidiagonale.
Marty84, come vedi non era difficile farsi un "esempio concreto"...
Un suggerimento da anziano: cerca di tovarti esempi su cui riflettere e lavorare, se oltre che fare la tesi per laurearti ti inteessa capirci qualcosa sul serio.
Certo tu hai ragione, solo che ora come ora sono impegnata a studiare l'algoritmo di questo metodo iterativo e non mi ci sono nemmeno messa a creare un controesempio. Peraltro pensavo fosse più laborioso e quindi ho rimandato a dopo...
Bene: quindi esistono matrici definite positive (in mancanza di conferme, come definizione di matrice definita positiva assumo quella di sopra) non Hermitiane. Allora tu chiedi: per queste matrici valgono gli stessi teoremi che valevano per le matrici definite positive Hermitiane?
Qualcosa si potrà dire di certo. Io comincerei da questa proprietà:
Qualcosa si potrà dire di certo. Io comincerei da questa proprietà:
- Una matrice Hermitiana è definita positiva se e solo se ha tutti gli autovalori reali strettamente positivi.[/list:u:xloaxxke]
Se togliamo l'ipotesi "matrice Hermitiana" io direi che si conserva il "solo se" ma non il "se".
Infatti, se $A$ è matrice definita positiva (Hermitiana o meno) allora preso $lambda$ un suo autovalore e $v$ un corrispondente autovettore risulta $v^HAv=lambdav^Hv>0$, ed essendo $v^Hv>0$ anche $lambda>0$.
Mentre una matrice con tutti autovalori positivi non deve necessariamente essere definita positiva a meno che non sia ortogonalmente diagonalizzabile, cosa questa che ricavavamo dall'Hermitianità. Un esempio? Io direi che $((1, 1), (0, 1))$ può andare. Ha tutti autovalori positivi (l'unico è 1) ma non mi pare definita positiva: prova a moltiplicare con $(-1, 1)$ e ottieni $-1$.
Io osserverei che una matrice quadrata $A$ e' positiva se e solo se $A_1:=\frac{A+A^T}{2}$ e' positiva.
Infatti $\sum_{ij}a_{ij}x_ix_j=\sum_{ij}a_{ji}x_ix_j=\sum_{ij}\frac{a_{ji}+a_{ji}}{2}x_ix_j$
A questo punto $A$ e' positiva se e solo se tutti gli autovalori di $A_1$ (che e' simmetrica) sono positivi.
In termini di $A$ non so.
P.S. Mi sono accorto che sto sottintendendo $A$ reale - il caso complesso e' simile.
Infatti $\sum_{ij}a_{ij}x_ix_j=\sum_{ij}a_{ji}x_ix_j=\sum_{ij}\frac{a_{ji}+a_{ji}}{2}x_ix_j$
A questo punto $A$ e' positiva se e solo se tutti gli autovalori di $A_1$ (che e' simmetrica) sono positivi.
In termini di $A$ non so.
P.S. Mi sono accorto che sto sottintendendo $A$ reale - il caso complesso e' simile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo