Matrice definita positiva
Ragazzi, cerco urgente aiuto per questo problema:
ho una matrice n x n: di questo tipo:
(quella nell'immagine è 6 x 6, ma è da immaginare n x n)
Dovevo trovare una formula ricorsiva per calcolare il determinante di Vn.
Ho trovato che det(Vn)=det(Vn-1)-cos(alfa)^2 * det(Vn-2)
con det(V1)=1 e det(V2)=1-cos(alfa)^2=sin(alfa)^2
Credo che sia corretta.
Ora però, per alfa:= pi/p , dove p>=2, dovrei determinare i valori p tali che Vn sia definita positiva (rispettivamente negativa).
Per V1 van chiaramente bene tutte le p>=2, per V2 anche...poi per gli altir penso che bisogna utilizzare la formula ricorsiva precedentemente trovata.... ma non riesko.
grazie
L.L
ho una matrice n x n: di questo tipo:
(quella nell'immagine è 6 x 6, ma è da immaginare n x n)
Dovevo trovare una formula ricorsiva per calcolare il determinante di Vn.
Ho trovato che det(Vn)=det(Vn-1)-cos(alfa)^2 * det(Vn-2)
con det(V1)=1 e det(V2)=1-cos(alfa)^2=sin(alfa)^2
Credo che sia corretta.
Ora però, per alfa:= pi/p , dove p>=2, dovrei determinare i valori p tali che Vn sia definita positiva (rispettivamente negativa).
Per V1 van chiaramente bene tutte le p>=2, per V2 anche...poi per gli altir penso che bisogna utilizzare la formula ricorsiva precedentemente trovata.... ma non riesko.
grazie
L.L
Risposte
Dai ragazzi...un ideina...
please
L.L
please
L.L
Se mi ricordo bene una matrice e' definita positiva (negativa) se il suo spettro (=l'insime degli autovalori) e' contenuto nel semipiano destro (sinistro) rispettivamente del piano di Gauss.
Ora la tua matrice per come e' costruita e' diagonale a blocchi ovvero e' una matrice nulla con l'eccezione di una diagonale formata da matrici (2x2 in questo caso). Si puo' dimostrare facilmente che lo spettro di una matrice di questo tipo e' l'unione degli spettri delle sottomatrici sulla diagonale.
Quindi perche Vn sia definita positiva/negativa basta che la V2 sia definita positiva/negativa.
Ora la tua matrice per come e' costruita e' diagonale a blocchi ovvero e' una matrice nulla con l'eccezione di una diagonale formata da matrici (2x2 in questo caso). Si puo' dimostrare facilmente che lo spettro di una matrice di questo tipo e' l'unione degli spettri delle sottomatrici sulla diagonale.
Quindi perche Vn sia definita positiva/negativa basta che la V2 sia definita positiva/negativa.
in questo caso la matrice è simmetrica, dunque tutti gli autovalori sono reali. è sufficiente inoltre applicare il criterio di sylvester: se i determinanti dei minori principali sono tutti strettamente positivi allora la matrice è definita positiva. i minori principali sono quelli che si ottengono prendendo le sottomatrici formate dalle righe da 1 a k e dalle colonne da 1 a k, per k = 1,...,n
mi è sfuggito un po il ragionamento di david_e...inoltre l'ultima affermazione non mi convince molto.
Invece ho provato a fare come dice elijah82...Il problema è che per una matrice Vn non riesco a trovare un vero e proprio intervallo per cui Vn è definita positiva (def.negativa men che meno)
Cmq doma riceverò finalmente la soluzioen di sto esercizio..
grazie mille
ciau
L.L
Invece ho provato a fare come dice elijah82...Il problema è che per una matrice Vn non riesco a trovare un vero e proprio intervallo per cui Vn è definita positiva (def.negativa men che meno)
Cmq doma riceverò finalmente la soluzioen di sto esercizio..
grazie mille
ciau
L.L
Hai ragione, mi sa' che ho preso una cantonata: la Vn non e' diagonale a blocchi.........
Infatti le matrici 2x2 si "compenetrano"
Infatti le matrici 2x2 si "compenetrano"
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