Matrice definita positiva
buongiorno, riguardando parte di teoria delle matrici ho avuto un dubbio, forse banale, ma che temo sia fondamentale.
se è data una matrice $B$ definita positiva, allora $B$ deve essere necessari
grazie
se è data una matrice $B$ definita positiva, allora $B$ deve essere necessari
grazie
Risposte
Risposta: NO!
Esempio: \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}\) non è simmetrica, ma \(\displaystyle\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\,(x,y)\times A\times (x,y)^T=x^2+xy+y^2\geq0\) ed è uguale a \(\displaystyle0\) se e solo se \(\displaystyle(x,y)=(0,0)\).
Scrivo anche i calcoli?
Esempio: \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}\) non è simmetrica, ma \(\displaystyle\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\,(x,y)\times A\times (x,y)^T=x^2+xy+y^2\geq0\) ed è uguale a \(\displaystyle0\) se e solo se \(\displaystyle(x,y)=(0,0)\).
Scrivo anche i calcoli?
Grazie, momento di panico allora...
Perché il mio docente scrive che vale il seguente teorema: se $B$ è hermitiana e definita positiva, allora il metodo di Gauss-Seidel converge.
Osservazioni: se $B$ è una matrice definita positiva, allora Gauss-Seidel converge.
Per ciò avevo pensato ad un legame del genere...
Qualcuno può aiutarmi su questo dilemma?
Grazie
Perché il mio docente scrive che vale il seguente teorema: se $B$ è hermitiana e definita positiva, allora il metodo di Gauss-Seidel converge.
Osservazioni: se $B$ è una matrice definita positiva, allora Gauss-Seidel converge.
Per ciò avevo pensato ad un legame del genere...
Qualcuno può aiutarmi su questo dilemma?
Grazie
Domanda: ma il tuo prof. utilizza solo matrici simmetriche? 
No solitamente no...ad esempio su questa $B$ non si sapeva nulla se non che fosse definita positiva
Quando si parla di matrici definite positive di solito è sottinteso che siano simmetriche o hermitiane. È possibile che il tuo docente non sottintenda questo fatto. Hai un libro di testo o una dispensa? Prova a cercare la definizione.
Dispense no, ha un testo che consiglia ma segue poco ... tuttavia quindi può essere che definita positiva implichi hermitiana?
Perché allora cosi tornerebbe anche l'osservazione
Perché allora cosi tornerebbe anche l'osservazione
No Guido: uno può definire le matrici definite positive sui numeri reali e sui numeri complessi senza alcuna assunzione extra.
Come io t'ho chiesto, e poi Martino ha chiarito: tu stai lavorando con matrici simmetrice definite positive?
Come io t'ho chiesto, e poi Martino ha chiarito: tu stai lavorando con matrici simmetrice definite positive?
Allora in tutti gli appunti del corso non ho mai sentito dire "d'ora in avanti assumiamo che le matrici siano simmetriche" ma vedendo la discussione e il risultato che ho riportato penso che il mio docente le assuma.
In questo caso capirei perché basta la definita positività per dire che G-S converge.
Altrimenti non avrebbe senso...o sbaglio?
In questo caso capirei perché basta la definita positività per dire che G-S converge.
Altrimenti non avrebbe senso...o sbaglio?
"j18eos":
No Guido: uno può definire le matrici definite positive sui numeri reali e sui numeri complessi senza alcuna assunzione extra.
Come io t'ho chiesto, e poi Martino ha chiarito: tu stai lavorando con matrici simmetrice definite positive?
Forse ho scoperto l'arcano motivo. La definita positività ecc solitamente il mio docente la definisce a partire da matrici Hermitiane (o simmetriche) e di conseguenza il teorema non necessita dell'ipotesi di Hermitianità.
Tuttavia, come detto anche qui, si può definire la definita positività anche se dover parlare di matrici simmetriche e di conseguenza affinché G-S converga è necessario utilizzare anxhe l'ipotesi di Hermitianità.
È possibile però che ci siano 2 scuole di pensiero diverse sul concetto a partire dal quale si definisce una matrice definita positiva?
Grazie
Non è una questione di scuola di pensiero: il tuo prof. ha deciso di usare le matrici hermitiane (e quindi incluse le matrici simmetriche) a prescindere per motivi suoi; tipo qualche teorema che necessita di una tale ipotesi.
È un po' come un corso base di algebra lineare: normalmente si definiscono gli spazi vettoriali su un campo in tutta generalità, arrivati a definire la dimensione si procede poi considerando solo spazi vettoriali finito-dimensionali (per comodità). Al più il caso infinito-dimensionale è descritto in qualche nota senza dimostrazione; ma non è una "scuola di pensiero", è solo che quest'ultimo caso ha bisogno di più accortenze.
Un analogo simile (credo che) sussiste anche tra le matrici definite positive e le matrici hermitiane definite positive.
Ti torna tutto?
È un po' come un corso base di algebra lineare: normalmente si definiscono gli spazi vettoriali su un campo in tutta generalità, arrivati a definire la dimensione si procede poi considerando solo spazi vettoriali finito-dimensionali (per comodità). Al più il caso infinito-dimensionale è descritto in qualche nota senza dimostrazione; ma non è una "scuola di pensiero", è solo che quest'ultimo caso ha bisogno di più accortenze.
Un analogo simile (credo che) sussiste anche tra le matrici definite positive e le matrici hermitiane definite positive.
Ti torna tutto?
Ho capito, grazie mille.
Per sicurezza a settembre lo contatto: perché mi lascia spiazzato il fatto di mettere l'ipotesi di Hermitianità nel teorema e poi sostanzialmente toglierla nell'osservazione
Per sicurezza a settembre lo contatto: perché mi lascia spiazzato il fatto di mettere l'ipotesi di Hermitianità nel teorema e poi sostanzialmente toglierla nell'osservazione
Nota: nel seguito considero matrici reali, e quindi parlo di matrici *simmetriche*, ma tutto si estende al caso complesso, con matrici hermitiane.
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Ogni matrice quadrata, simmetrica o no, si scompone nella somma di una unica matrice simmetrica e una unica matrice antisimmetrica. Infatti, se \(M\) è una matrice quadrata, allora
\[
M=\frac{M+M^T}2 +\frac{M-M^T}2=M_S+M_A. \]
La forma quadratica associata ad \(M\) è la stessa della forma quadratica associata ad \(M_S\), nel senso che
\[
x^TMx=x^TM_Sx, \]
visto che \(x^TM_A x=0\). Quindi richiedere che \(x^TMx\ge 0\) equivale a richiedere che \(x^TM_Sx\ge 0\) per ogni \(x\in \mathbb R^n\). In altre parole, l'ipotesi di positività coinvolge solo la parte simmetrica di una matrice.
È per questo motivo che, quando si dice di una matrice che è definita positiva, in genere si assume implicitamente che essa sia simmetrica. Solo per matrici simmetriche questa ipotesi è significativa.
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Ogni matrice quadrata, simmetrica o no, si scompone nella somma di una unica matrice simmetrica e una unica matrice antisimmetrica. Infatti, se \(M\) è una matrice quadrata, allora
\[
M=\frac{M+M^T}2 +\frac{M-M^T}2=M_S+M_A. \]
La forma quadratica associata ad \(M\) è la stessa della forma quadratica associata ad \(M_S\), nel senso che
\[
x^TMx=x^TM_Sx, \]
visto che \(x^TM_A x=0\). Quindi richiedere che \(x^TMx\ge 0\) equivale a richiedere che \(x^TM_Sx\ge 0\) per ogni \(x\in \mathbb R^n\). In altre parole, l'ipotesi di positività coinvolge solo la parte simmetrica di una matrice.
È per questo motivo che, quando si dice di una matrice che è definita positiva, in genere si assume implicitamente che essa sia simmetrica. Solo per matrici simmetriche questa ipotesi è significativa.
Grandissimo! Spiegazione molto chiara.
Grazie
Grazie
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