Matrice con base (I,A,A^2)

[tommyr22-votailprof]

salve a tutti.
ho una matrice A=$((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))$

e $V=L(I,A,A^2)subRR^(3,3)$. adesso mi serve sapere la matrice associata ad f:V-->V poichè:
$f(I)=A-I$
$f(A)=-A$
$f(A^2)=A^3$

adesso prendendo come base $(I,A,A^2)$ come faccio a trovarmi A^3 come combinazione di $I,A,A^2$ ?
(per i normali vettori praticamente mi trovo il generico vettore $(a,b,c)=xv_1+yv_2+zv_3$ dove $v_1,v_2,v_3$ sono una base,ma quì come faccio?)

grazie.

[franced]

"TommyR22":salve a tutti.
ho una matrice A=$((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))$

e $V=L(I,A,A^2)subRR^(3,3)$. adesso mi serve sapere la matrice associata ad f:V-->V poichè:
$f(I)=A-I$
$f(A)=-A$
$f(A^2)=A^3$

adesso prendendo come base $(I,A,A^2)$ come faccio a trovarmi A^3 come combinazione di $I,A,A^2$ ?

Sfrutta il Teorema di Hamilton-Cayley:

il polinomio caratteristico di $A$ è $(1 - lambda)^3$, quindi

$(I - A)^3 = 0$

da cui

$I - 3A + 3A^2 - A^3 = 0$

e quindi

$A^3 = I - 3A + 3A^2$ .