Matrice composizione

[mobley]

Buon pomeriggio truppa, mi stavo riguardando un po' di cose di algebra lineare e sono incappato (mi scuserete per la banalità della domanda) nella matrice composizione, che nel corso di analisi non ricordo di avere fatto (anche se con ogni probabilità è così ). Ho provato a cercare qualche esercizio su internet sul tema e ho trovato questo, apparentemente banale.

Date le applicazioni lineari:
$ F:RR^3->RR^4{ ( F(1,0,0 )=(3,0,0,0)),( F(0,1,0)=(2,0,1,0) ),( F(0,0,1)=(0,1,-1,0) ):} $ e $ G:RR^4->RR^3{ ( G(1,0,0,0 )=(0,0,0)),( G(0,1,0,0)=(0,0,2) ),( G(0,0,1,1)=(1,0,-1) ),( G(0,0,0,1)=(0,0,-4) ):} $, trovare le matrici delle due composte $A=M(F@ G)$ e $B=M(G@ F)$.
Bene: se $ M(F)=[ ( 3 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ e $ [ ( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 , -4 ) ] $ è sufficiente un semplice prodotto righe per colonne:
$A=M(F@ G)= [ ( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 2 , -1 , -4 ),( 0 , 2 , 1 , 4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $ e $B=M(G@ F)= [ ( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 3 ) ] $.

Quello che vi chiedo è: possono esserci varianti sul tema? Non ricordo granché bene questi argomenti e gli appunti di algebra lineare sono finiti chissà dove

[mobley]

Ecco, ad esempio in questo caso:
$ [ ( 1 , -2 ),( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ][ ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $.
Per fare il prodotto posso eliminare i due vettori nulla in riga e colonna?

[Bokonon]

Occhio perchè, per come hai proposto l'esercizio, la tua M(G) è sbagliata, o meglio non è nella base canonica.
Ti hanno dato $G(0,0,1,1)$ ma devi ricavarti $G(0,0,1,0)=(1,0,3)$

Per il prodotto matriciale, se ti confonde, scrivi sempre la dimensione della matrice (nxm) (n=righe e m=colonne).
Si possono comporre matrici (nxk) x (kxm)=(nxm) in altre parole le colonne della prima (k) devono uguagliare le righe della seconda (k). Così non ti sbagli mai.

[Bokonon]

"mobley":
Per fare il prodotto posso eliminare i due vettori nulla in riga e colonna?

No.

[mobley]

"Bokonon":Occhio perchè, per come hai proposto l'esercizio, la tua M(G) è sbagliata, o meglio non è nella base canonica.
Ti hanno dato $G(0,0,1,1)$ ma devi ricavarti $G(0,0,1,0)=(1,0,3)$

Per il prodotto matriciale, se ti confonde, scrivi sempre la dimensione della matrice (nxm) (n=righe e m=colonne).
Si possono comporre matrici (nxk) x (kxm)=(nxm) in altre parole le colonne della prima (k) devono uguagliare le righe della seconda (k). Così non ti sbagli mai.

Grazie come sempre per la tua risposta Bokonon, puntuale come sempre! Hai ragione, ho sbagliato a copiare il testo. Ovviamente è come dici tu, ossia $G(0,0,1,0)$. In base a questo $M(G)$ dovrebbe essere corretta.

Per quanto riguarda il secondo esempio, dove mi hai detto che non posso eliminare il vettore nullo, come lo svolgo il prodotto?

[Bokonon]

"mobley":
Per quanto riguarda il secondo esempio, dove mi hai detto che non posso eliminare il vettore nullo, come lo svolgo il prodotto?

Quel prodotto in quell'ordine non si può fare. Se chiamiamo A la prima matrice e B la seconda, puoi fare $BA$ o $A^TB$ o infine $B^TA$.