Matrice ciclica in GL(n,2)
Buongiorno a tutti,
È il primo messaggio che posto in questo forum, ho letto il regolamento e i consigli per porre richieste, spero quindi di non aver sbagliato sezione. Il mio problema è il seguente:
Siamo nel gruppo GL(n,2), gruppo delle matrici n x n con coefficienti in GF(2) (campo con due elementi, alcuni lo scrivono $\mathbb{F}_2$). Vorrei far vedere che una matrice triangolare superiore con tutti gli elementi sulla diagonale uguale a 1, e tutti gli elementi sopra la diagonale anch'essi uguale a 1, è ciclica.
(esempio nel caso n = 5)
A = $ ( ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1, 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
Voglio mostrare che matrice A applicata al vettore v = $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ 4 volte genera uno spazio vettoriale V = $\{v, Av, A^2v, A^3v, A^4v\}$ di dimensione 5.
Ecco, vorrei dimostrare che questo vale per ogni n, con questo tipo di vettore e questo tipo di matrice. La matrice applicata al vettore va ad aggiungere pian piano un 1 alla posizione superiore dove prima c'era lo zero, però non mi viene in mente nessun idea per far vedere che funziona sempre così per ogni n. Non è difficile, so di essermi perso in un bicchier d'acqua. Se avete idee o suggerimenti, sono ben accettati, spero si capisca ciò che ho scritto.
È il primo messaggio che posto in questo forum, ho letto il regolamento e i consigli per porre richieste, spero quindi di non aver sbagliato sezione. Il mio problema è il seguente:
Siamo nel gruppo GL(n,2), gruppo delle matrici n x n con coefficienti in GF(2) (campo con due elementi, alcuni lo scrivono $\mathbb{F}_2$). Vorrei far vedere che una matrice triangolare superiore con tutti gli elementi sulla diagonale uguale a 1, e tutti gli elementi sopra la diagonale anch'essi uguale a 1, è ciclica.
(esempio nel caso n = 5)
A = $ ( ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1, 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
Voglio mostrare che matrice A applicata al vettore v = $ ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ 4 volte genera uno spazio vettoriale V = $\{v, Av, A^2v, A^3v, A^4v\}$ di dimensione 5.
Ecco, vorrei dimostrare che questo vale per ogni n, con questo tipo di vettore e questo tipo di matrice. La matrice applicata al vettore va ad aggiungere pian piano un 1 alla posizione superiore dove prima c'era lo zero, però non mi viene in mente nessun idea per far vedere che funziona sempre così per ogni n. Non è difficile, so di essermi perso in un bicchier d'acqua. Se avete idee o suggerimenti, sono ben accettati, spero si capisca ciò che ho scritto.
Risposte
Non e' difficile trovare una forma generale per l'immagine di $A^k v$, e dimostrare per induzione che e' davvero quella la forma generale.
Una volta che hai tutti i vettori della forma $A^k v$, dovrai dimostrare che sono linearmente indipendenti, e questo non sara' difficile perche' su $\mathbb{F}_2$ un sacco di coefficienti tornano $0$.
Una volta che hai tutti i vettori della forma $A^k v$, dovrai dimostrare che sono linearmente indipendenti, e questo non sara' difficile perche' su $\mathbb{F}_2$ un sacco di coefficienti tornano $0$.
Allora, vediamo se così può andare:
Quando k è dispari $A^kv$ genera un vettore le cui prime (n-k-1) coordinate sono tutte nulle e le restanti k+1 coordinate sono tutte uguali ad 1,
\begin{matrix} \underbrace{(0, \cdots, 0,}_{n-k-1\mbox{ volte }} \underbrace{ 1, \cdots, 1)}_{k+1\mbox{ volte}}\end{matrix}
Quando k è pari $A^kv$ genera un vettore le cui prime (n-k-1) coordinate sono tutte nulle e le restanti k+1 coordinate sono tutte nulle tranne la prima e l'ultima, \begin{matrix} \underbrace{(0, \cdots, 0,}_{n-k-1\mbox{ volte }} \underbrace{ 1, 0, \cdots, 0, 1)}_{k+1\mbox{ volte}}\end{matrix}
Sia A di dimensione n fissato, adesso dimostro per induzione i due casi. Per k=1 e per k=2 è vera. Suppongo vero il caso per k dispari, k+1 è pari e voglio mostrare che il vettore è proprio quello che mi aspetto: $A^{k+1}v$ = $A(A^kv)$ = \begin{matrix} \underbrace{(0, \cdots, 0,}_{n-k-2\mbox{ volte }} \underbrace{ 1, 0, \cdots, 0, 1)}_{k+2\mbox{ volte}}\end{matrix}.
Procedimento analogo suppendo vero il caso k pari, ottengo il vettore $v_{k+1}$ fatto di zeri per le prime n-k-2 coordinate e le restanti sono tutte uguali a uno.
I vettori sono linearmente indipendenti avendo ordinatamente il primo n-1 coordinate nulle, il secondo n-2, e così via.
Può andare?
Quando k è dispari $A^kv$ genera un vettore le cui prime (n-k-1) coordinate sono tutte nulle e le restanti k+1 coordinate sono tutte uguali ad 1,
\begin{matrix} \underbrace{(0, \cdots, 0,}_{n-k-1\mbox{ volte }} \underbrace{ 1, \cdots, 1)}_{k+1\mbox{ volte}}\end{matrix}
Quando k è pari $A^kv$ genera un vettore le cui prime (n-k-1) coordinate sono tutte nulle e le restanti k+1 coordinate sono tutte nulle tranne la prima e l'ultima, \begin{matrix} \underbrace{(0, \cdots, 0,}_{n-k-1\mbox{ volte }} \underbrace{ 1, 0, \cdots, 0, 1)}_{k+1\mbox{ volte}}\end{matrix}
Sia A di dimensione n fissato, adesso dimostro per induzione i due casi. Per k=1 e per k=2 è vera. Suppongo vero il caso per k dispari, k+1 è pari e voglio mostrare che il vettore è proprio quello che mi aspetto: $A^{k+1}v$ = $A(A^kv)$ = \begin{matrix} \underbrace{(0, \cdots, 0,}_{n-k-2\mbox{ volte }} \underbrace{ 1, 0, \cdots, 0, 1)}_{k+2\mbox{ volte}}\end{matrix}.
Procedimento analogo suppendo vero il caso k pari, ottengo il vettore $v_{k+1}$ fatto di zeri per le prime n-k-2 coordinate e le restanti sono tutte uguali a uno.
I vettori sono linearmente indipendenti avendo ordinatamente il primo n-1 coordinate nulle, il secondo n-2, e così via.
Può andare?
Direi di si. Mi torna il ragionamento sull'indipendenza lineare; forse ad essere pignoli bisognerebbe formalizzarlo un pochino ma direi che ci siamo.
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