Matrice che rappresenta un endomorfismo
buongiorno!!
vorrei chiedere una piccola cosa, nn riesco a capire se risolvo bene questo esercizio:
Sia $ f: R^3 rarr R^3 $ così definita : $ f(x,y,z)=(2x, x+y, x) $ e la seguente base $ B=(1,0,0),(1,2,1),(0,1,1) $ si determini la matrice $ Af $ che rappresenta $ f $ nella base $ B $ !!
Allora io procedo in qst modo calcolo le immagini di $ f $ rispetto alla base $ B $ e i vettori così ottenuti mettendoli in colonna mi danno la matrice che rappresenta $ f $ tuttavia il mio prof. non vuole questo procedimento, ma dice che vuole un sistema in modo che poi i coefficienti delle "incognite" siano la matrice di $ f $ allora io procedo in questo modo :
Calcolo sempre i vettori immagine rispetto alla base $ B $ ottenendo:
$ f(1,0,0)=(2, 1, 1) , f(1,2,1)=(2,3,1), f(0,1,1)=(0,1,0) $ ora devo esprimere questi vettori come combinazione lineare di una base del codominio della funzione che è $ R^3 $ e quindi essendo un endomorfismo potrei usare la stessa base o la base canonica, e ottenere quindi:
$ (2,1,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ da cui $ a=2, b=1, c=1 $
$ (2,3,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ da cui $ a=2, b=3, c=1 $
$ (0,1,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ da cui $ a=0, b=1, c=0 $
che danno come risultato la matrice $ A=((2,1,1),(2,3,1),(0,1,0)) $
ma io so che in realtà il risultato finale deve essere la trasposta di questa matrice e cioè : $ A=((2,2,0),(1,3,1),(1,1,0)) $
inoltre utilizzando la base $ B $ la matrice cambia completamente
per favore qualcuno mi sa mettere sulla strada giusta, ho paura di essere enormemente confuso...
vorrei chiedere una piccola cosa, nn riesco a capire se risolvo bene questo esercizio:
Sia $ f: R^3 rarr R^3 $ così definita : $ f(x,y,z)=(2x, x+y, x) $ e la seguente base $ B=(1,0,0),(1,2,1),(0,1,1) $ si determini la matrice $ Af $ che rappresenta $ f $ nella base $ B $ !!
Allora io procedo in qst modo calcolo le immagini di $ f $ rispetto alla base $ B $ e i vettori così ottenuti mettendoli in colonna mi danno la matrice che rappresenta $ f $ tuttavia il mio prof. non vuole questo procedimento, ma dice che vuole un sistema in modo che poi i coefficienti delle "incognite" siano la matrice di $ f $ allora io procedo in questo modo :
Calcolo sempre i vettori immagine rispetto alla base $ B $ ottenendo:
$ f(1,0,0)=(2, 1, 1) , f(1,2,1)=(2,3,1), f(0,1,1)=(0,1,0) $ ora devo esprimere questi vettori come combinazione lineare di una base del codominio della funzione che è $ R^3 $ e quindi essendo un endomorfismo potrei usare la stessa base o la base canonica, e ottenere quindi:
$ (2,1,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ da cui $ a=2, b=1, c=1 $
$ (2,3,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ da cui $ a=2, b=3, c=1 $
$ (0,1,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ da cui $ a=0, b=1, c=0 $
che danno come risultato la matrice $ A=((2,1,1),(2,3,1),(0,1,0)) $
ma io so che in realtà il risultato finale deve essere la trasposta di questa matrice e cioè : $ A=((2,2,0),(1,3,1),(1,1,0)) $
inoltre utilizzando la base $ B $ la matrice cambia completamente
per favore qualcuno mi sa mettere sulla strada giusta, ho paura di essere enormemente confuso...
Risposte
Lascia stare la base canonica, devi esprimere questi vettori
rispetto alla base $ B $. Per farlo puoi risolvere tre sistemi (di tre equazioni in tre incognite)
$ a_1(1,0,0)+b_1(1,2,1)+c_1(0,1,1)=(2,1,1) $
$ a_2(1,0,0)+b_2(1,2,1)+c_2(0,1,1)=(2,3,1) $
$ a_3(1,0,0)+b_3(1,2,1)+c_3(0,1,1)=(0,1,0) $
e poi scrivi la matrice $ ((a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3)) $
"giopk91":
$ f(1,0,0)=(2,1,1),f(1,2,1)=(2,3,1),f(0,1,1)=(0,1,0) $
rispetto alla base $ B $. Per farlo puoi risolvere tre sistemi (di tre equazioni in tre incognite)
$ a_1(1,0,0)+b_1(1,2,1)+c_1(0,1,1)=(2,1,1) $
$ a_2(1,0,0)+b_2(1,2,1)+c_2(0,1,1)=(2,3,1) $
$ a_3(1,0,0)+b_3(1,2,1)+c_3(0,1,1)=(0,1,0) $
e poi scrivi la matrice $ ((a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3)) $
"perplesso":
Lascia stare la base canonica, devi esprimere questi vettori
[quote="giopk91"] $ f(1,0,0)=(2,1,1),f(1,2,1)=(2,3,1),f(0,1,1)=(0,1,0) $
rispetto alla base $ B $. Per farlo puoi risolvere tre sistemi (di tre equazioni in tre incognite)
$ a_1(1,0,0)+b_1(1,2,1)+c_1(0,1,1)=(2,1,1) $
$ a_2(1,0,0)+b_2(1,2,1)+c_2(0,1,1)=(2,3,1) $
$ a_3(1,0,0)+b_3(1,2,1)+c_3(0,1,1)=(0,1,0) $
e poi scrivi la matrice $ ((a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3)) $[/quote]
ok allora è questo il metodo giusto, ma nel caso in cui dovevo usare le basi canoniche andava bene come fatto al primo punto??
Quando devi determinare la matrice di un'applicazione lineare devi specificare rispetto a quale base del dominio e quale base del codominio. Quello che hai fatto all'inizio è calcolare la matrice che rappresenta $ f $ rispetto alla base $ B $ del dominio e alla base canonica del codominio. Invece quando ti chiedono "Trovare la matrice di $ f $ rispetto alla base $ B $" di solito è sottinteso che devi usare quella base sia per il dominio che per il codominio.
ok grazie nn potevi essere più chiaro!!
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