Matrice cambio di base in R^[2,2]
Ciao a tutti
spero qualcuno possa darmi una mano nel risolvere la seconda parte di questo esercizio
io ho 4 matrici:
$A_1=| ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) | $
$A_2=| (1, 0 ),( 2 , -1 ) | $
$A_3=| ( 0, 2 ),( -2 , 1 ) | $
$A_4=| ( 4 , 1 ),( -2 , 3 ) | $
per prima cosa l'esercizio mi chiede di verificare se queste quattro matrici sono una base in $R^(2,2)$
allora ho posto
$aA_1+bA_2+cA_3+dA_4 = | ( 0, 0 ),( 0 , 0 ) | $
ho fatto un po' di calcoli e mi viene che tale condizione è verificata solo se $a=b=c=d=0$
e quindi determino che sono linearmente indipendenti quindi possono essere una base. Giusto?
il problema mi nasce dopo quando l'esercizio mi chiede quindi esprimere la matrice $K=| ( 1, 0 ),( 0 , 1 ) | $
secondo questa base.
A questo punto io so che devo trovare la matrice di cambio di base, e fino a quando si trattava di matrici 3x3 non ho avuto troppi problemi...
qui ho pensato di fare così, ho trasposto in colonna le quattro matrici di partenza creando la matrice $B$
$B =| (1,1,0,4),(2,0,2,1),(-1,2,-2,-2),(0,-1,1,3) |$
e poi ho trasposto in vettore la matrice $K=| (1),(0),(0),(1) |$
infine ho trovato il vettore nella nuova base facendo $K_1 = BK$
$K_1 = | (1,1,0,4),(2,0,2,1),(-1,2,-2,-2),(0,-1,1,3) |\ cdot | (1),(0),(0),(1) | = | (5),(3),(-3),(3) | = | ( 5, 3 ),( -3 , 3 ) | $
Secondo voi è corretto?
Grazie mille a tutti
spero qualcuno possa darmi una mano nel risolvere la seconda parte di questo esercizio
io ho 4 matrici:
$A_1=| ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) | $
$A_2=| (1, 0 ),( 2 , -1 ) | $
$A_3=| ( 0, 2 ),( -2 , 1 ) | $
$A_4=| ( 4 , 1 ),( -2 , 3 ) | $
per prima cosa l'esercizio mi chiede di verificare se queste quattro matrici sono una base in $R^(2,2)$
allora ho posto
$aA_1+bA_2+cA_3+dA_4 = | ( 0, 0 ),( 0 , 0 ) | $
ho fatto un po' di calcoli e mi viene che tale condizione è verificata solo se $a=b=c=d=0$
e quindi determino che sono linearmente indipendenti quindi possono essere una base. Giusto?
il problema mi nasce dopo quando l'esercizio mi chiede quindi esprimere la matrice $K=| ( 1, 0 ),( 0 , 1 ) | $
secondo questa base.
A questo punto io so che devo trovare la matrice di cambio di base, e fino a quando si trattava di matrici 3x3 non ho avuto troppi problemi...
qui ho pensato di fare così, ho trasposto in colonna le quattro matrici di partenza creando la matrice $B$
$B =| (1,1,0,4),(2,0,2,1),(-1,2,-2,-2),(0,-1,1,3) |$
e poi ho trasposto in vettore la matrice $K=| (1),(0),(0),(1) |$
infine ho trovato il vettore nella nuova base facendo $K_1 = BK$
$K_1 = | (1,1,0,4),(2,0,2,1),(-1,2,-2,-2),(0,-1,1,3) |\ cdot | (1),(0),(0),(1) | = | (5),(3),(-3),(3) | = | ( 5, 3 ),( -3 , 3 ) | $
Secondo voi è corretto?
Grazie mille a tutti
Risposte
"Summerwind78":
Secondo voi è corretto?
direi di no
il tuo compito è quello di determinare $alpha,beta,gamma,delta$ tali che
$alpha(1,2,-1,0)+beta(1,0,2,-1)+gamma(0,2,-2,1)+delta(4,1,-2,3)=(1,0,0,1)$
"stormy":
direi di no
il tuo compito è quello di determinare $alpha,beta,gamma,delta$ tali che
$alpha(1,2,-1,0)+beta(1,0,2,-1)+gamma(0,2,-2,1)+delta(4,1,-2,3)=(1,0,0,1)$
Ciao
Grazie per l'aiuto
ma quindi si tratta in pratica di ripetere lo stesso procedimento fatto per determinare l'indipendenza lineare ma invece che uguagliare a 0 il sistema lo uguaglio alla matrice $K$?
Mi sembra troppo semplice
"Summerwind78":
Mi sembra troppo semplice
meglio,no ?
qui non ci sono cambiamenti di base,di base ce n'è una sola (come la mamma
)
Quindi in quale caso ho davvero un cambio di base e in quale non ce l'ho?
la matrice del cambio di base è quella che permette,dato un vettore $v$, di ricavare le componenti di $v$ rispetto ad una base $B'$ se si conoscono le componenti di $v$ rispetto ad una base $B$
Io in questo esercizio avevo capito di dover esprimere la matrice $K$ (ho dato per scontato che fosse espressa rispetto alla base canonica) rispetto alla nuova base $B$
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