Matrice cambio di base . confusione
Negli appunti noto questa definizione dove non si parla di base di partenza e di arrivo, è forse scontato ?
dato uno spazio vettoriale $X$ di dimensione finita ($n$)
siano $e_1,...,e_n$ e $e'_1,...,e'_n$ basi di $X$
la matrice cambio di base è la matrice che ha come colonne le coordinate di ciascuno dei vettori $e'_1,...,e'_n$ rispetto alla base $e_1,...,e_n$ quindi $M=(m_(ij))$ e $e'_j=\sum_{j=1}^nm_(ij)e_i$
Dalla definizione che da il prof si evince che si intende dalla base di partenza $e_1,...,e_n$ a quella di arrivo $e'_1,...,e'_n$, giusto?
Noto però che su altri siti si riporta il contrario per quanto riguarda il calcolo della matrice cambio di base da $e_1,...,e_n$ a $e'_1,...,e'_n$, cioè:
$e_j=\sum_{j=1}^nm_(ij)e'_i$
Dove sta la verità, ciò mi mette confusione
Ad esempio qua:
http://www.****.it/lezioni/algebra-l ... aggio.html
dato uno spazio vettoriale $X$ di dimensione finita ($n$)
siano $e_1,...,e_n$ e $e'_1,...,e'_n$ basi di $X$
la matrice cambio di base è la matrice che ha come colonne le coordinate di ciascuno dei vettori $e'_1,...,e'_n$ rispetto alla base $e_1,...,e_n$ quindi $M=(m_(ij))$ e $e'_j=\sum_{j=1}^nm_(ij)e_i$
Dalla definizione che da il prof si evince che si intende dalla base di partenza $e_1,...,e_n$ a quella di arrivo $e'_1,...,e'_n$, giusto?
Noto però che su altri siti si riporta il contrario per quanto riguarda il calcolo della matrice cambio di base da $e_1,...,e_n$ a $e'_1,...,e'_n$, cioè:
$e_j=\sum_{j=1}^nm_(ij)e'_i$
Dove sta la verità, ciò mi mette confusione
Ad esempio qua:
http://www.****.it/lezioni/algebra-l ... aggio.html
Risposte
Per quello che ho imparato a vedere ci sono due correnti di pensiero, una volta prese le due basi $B,B’$
Io utilizzo la seguente:
sia $V$ un $K$ spazio e $B,B’$ dua basi di $V$.
Si definisce matrice di passaggio da $B$ a $B’$ la matrice rappresentativa dell’applicazione identica avente base in ingresso $B$ e in uscita $B’$
Ovvero $M_(B)^(B’)(id_V)$
La seguente risulta equivalente alla definizione di matrice che ha per colonne le combinazioni lineari dei vettori della base di $V$ rispetto a $B’$
Alcuni invece intendono proprio il contrario ‘ovvero la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ la matrice che ti permette di passare da $B’$ a $B$.
Qual è la differenza? Che le matrici sono una l’inversa dell’altra.
Io utilizzo la seguente:
sia $V$ un $K$ spazio e $B,B’$ dua basi di $V$.
Si definisce matrice di passaggio da $B$ a $B’$ la matrice rappresentativa dell’applicazione identica avente base in ingresso $B$ e in uscita $B’$
Ovvero $M_(B)^(B’)(id_V)$
La seguente risulta equivalente alla definizione di matrice che ha per colonne le combinazioni lineari dei vettori della base di $V$ rispetto a $B’$
Alcuni invece intendono proprio il contrario ‘ovvero la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ la matrice che ti permette di passare da $B’$ a $B$.
Qual è la differenza? Che le matrici sono una l’inversa dell’altra.
"anto_zoolander":
Qual è la differenza? Che le matrici sono una l’inversa dell’altra.
Ok, ma se mi trovassi davanti ad un esercizio, come faccio a sapere qual è approccio corretto visto che forniscono due risultati diversi le matrici $M$ e $M^-1$ ?
Dalla definizione che da il prof si evince che si intende dalla base di partenza $e_1,...,e_n$ a quella di arrivo $e'_1,...,e'_n$, giusto?
Riguardo questo punto, è corretta la mia affermazione?
Grazie
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