Matrice cambiamento di base
Ciao 
Vorrei farvi una domanda stupida di cui non capisco il motivo teorico riguardante le matrici cambiamento di base.
Mi accorgo empiricamente che scrivedno una matrice cambio di base (ma in realtà qualunque matrice associata ad una applicazione linare) essa manda i vettori nulli in vettori nulli.
Se prendo ad esempio le componenti di un vettore nullo in una certa base (mettiamo dim 2) vedo che (0,0) è il mio vettore componenti, ora,moltiplicandolo per una matrice 2x2 ovviamente restituisceun altro (0,0) che saranno le componenti del nuovo vettore nella base (diciamo B'), ma ovviamente (0,0) sono di nuovo componenti del vettore nullo.
Quindi concludendo: perché cambiando base il vettore nullo non cambia?
Vorrei capire il perché teorico, vi ringrazio moltissimo
Vorrei farvi una domanda stupida di cui non capisco il motivo teorico riguardante le matrici cambiamento di base.
Mi accorgo empiricamente che scrivedno una matrice cambio di base (ma in realtà qualunque matrice associata ad una applicazione linare) essa manda i vettori nulli in vettori nulli.
Se prendo ad esempio le componenti di un vettore nullo in una certa base (mettiamo dim 2) vedo che (0,0) è il mio vettore componenti, ora,moltiplicandolo per una matrice 2x2 ovviamente restituisceun altro (0,0) che saranno le componenti del nuovo vettore nella base (diciamo B'), ma ovviamente (0,0) sono di nuovo componenti del vettore nullo.
Quindi concludendo: perché cambiando base il vettore nullo non cambia?
Vorrei capire il perché teorico, vi ringrazio moltissimo
Risposte
Quali sono le coordinate del vettore nullo, rispetto a una qualsiasi base?
Ti ringrazio molto per avermi considerato nonostante la mia stupida domanda.
Ovviamente hai ragione il vettore nullo è sempre di coordinate 0. Però mi chiedevo, dato che avviene sempre è una proprietà generale della applicazione lineare? Nel senso, senza vedere in modo pratico che il vettore nullo ha componenti 0 sempre, perché jna applicazione lineare manda sempre il nullo nel nullo?
Questa cosa mi sfugge dalla teoria
Ovviamente hai ragione il vettore nullo è sempre di coordinate 0. Però mi chiedevo, dato che avviene sempre è una proprietà generale della applicazione lineare? Nel senso, senza vedere in modo pratico che il vettore nullo ha componenti 0 sempre, perché jna applicazione lineare manda sempre il nullo nel nullo?
Questa cosa mi sfugge dalla teoria
Il motivo è che, detta \(T\) una applicazione lineare, si ha che
\[
T(\lambda x)=\lambda Tx, \qquad \forall \lambda \in\mathbb K,\forall x\in V.\]
(Qui \(V\) è un \(\mathbb K\)-spazio vettoriale). Siccome \(x=0\) è invariante per moltiplicazione con qualsiasi scalare \(\lambda\), anche \(Tx\) deve verificare la stessa proprietà. Ma l’unico vettore con tale invarianza è proprio il vettore nullo.
\[
T(\lambda x)=\lambda Tx, \qquad \forall \lambda \in\mathbb K,\forall x\in V.\]
(Qui \(V\) è un \(\mathbb K\)-spazio vettoriale). Siccome \(x=0\) è invariante per moltiplicazione con qualsiasi scalare \(\lambda\), anche \(Tx\) deve verificare la stessa proprietà. Ma l’unico vettore con tale invarianza è proprio il vettore nullo.
Grazie per la spiegazione. Non ci ero davvero arrivato, scusa la domanda stupidissima
Grazie mille
Grazie mille
Non è una domanda stupidissima. Queste sono cose su cui è bene riflettere.
Un'altra maniera di vedere questa proprietà è considerando somme invece di prodotti per uno scalare. Consideriamo la proprietà basica \(0=0+0\). Applicando \(T\) ad ambo i membri otteniamo
\[
T0 = T(0+0)=T0+T0.\]
Portando uno dei due addendi dal membro destro al membro sinistro,
\[
0=T0-T0=T0.\]
Abbiamo dimostrato che \(T0=0\).
Un'altra maniera di vedere questa proprietà è considerando somme invece di prodotti per uno scalare. Consideriamo la proprietà basica \(0=0+0\). Applicando \(T\) ad ambo i membri otteniamo
\[
T0 = T(0+0)=T0+T0.\]
Portando uno dei due addendi dal membro destro al membro sinistro,
\[
0=T0-T0=T0.\]
Abbiamo dimostrato che \(T0=0\).
Bellissima anche questa, grazie. Spero col tempo di riuscire ad allenarmi a vedere queste cose
Grazie ancora dissonance!
PS: stavo cercando di dimostrarmi l'asserto che hai usato per concludere la prima delle due dimostrazioni :"Ma l’unico vettore con tale invarianza è proprio il vettore nullo."
Però non riesco a capire bene come arrivare a mostrarne l'unicità di tale proprietà nello zero. Come conviene fare?
Grazie ancora dissonance!
PS: stavo cercando di dimostrarmi l'asserto che hai usato per concludere la prima delle due dimostrazioni :"Ma l’unico vettore con tale invarianza è proprio il vettore nullo."
Però non riesco a capire bene come arrivare a mostrarne l'unicità di tale proprietà nello zero. Come conviene fare?
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