Matrice cambiamento di base
Ciao a tutti vorrei un vostro parere :
si dimostra che la matrice di un cambiamento di base è invertibile...e io ho trovato tre modi differenti per dimostrarlo...uno si trova su algebra lineare for dummies uno è sfruttando la composizione dio funzioni e un altro utilizzando la definizione di matrice di cambiamento di base...ke poi sono molto simili tra di loro.
Io comunque l'invertibilità di una matrice la dimostrerei cosi:
per poter costruire la matrice applicata al cambiamento di base devo considerare la funzione identità che parte da uno spazio $V$ con base $B$ e arriva sempre in $V$ con base $B^1$. Per poter costruire la matrice devo trovare le immagine dei vettori della base $B$ che sono sempre quei vettori ma scritti secondo la base $C$, quindi in pratica ho riscritto dei vettori con una base. Ma i vettori di una base sono linearmente dipendenti(oltre che a generatori) e quindi le colonne della matrice associata sono linearmente indipendenti, quindi il rango è massimo.
Cosa ne dite?
si dimostra che la matrice di un cambiamento di base è invertibile...e io ho trovato tre modi differenti per dimostrarlo...uno si trova su algebra lineare for dummies uno è sfruttando la composizione dio funzioni e un altro utilizzando la definizione di matrice di cambiamento di base...ke poi sono molto simili tra di loro.
Io comunque l'invertibilità di una matrice la dimostrerei cosi:
per poter costruire la matrice applicata al cambiamento di base devo considerare la funzione identità che parte da uno spazio $V$ con base $B$ e arriva sempre in $V$ con base $B^1$. Per poter costruire la matrice devo trovare le immagine dei vettori della base $B$ che sono sempre quei vettori ma scritti secondo la base $C$, quindi in pratica ho riscritto dei vettori con una base. Ma i vettori di una base sono linearmente dipendenti(oltre che a generatori) e quindi le colonne della matrice associata sono linearmente indipendenti, quindi il rango è massimo.
Cosa ne dite?
Risposte
Certo: le colonne della matrice che trasforma le coordinate di un qualunque vettore $\mathbf{v}\in V$ rispetto alla base $B$ in quelle dello stesso vettore rispetto alla base $C$ è la matrice \(M_{C,B}(\mathbf{1}_V)\) che ha per colonne proprio le coordinate dei vettori della base $B$ scritte rispetto alla base $C$, e le $n$-uple di coordinate di un insieme di vettori di un generico \(\mathbb{R}\)-spazio vettoriale $V$ linearmente indipendenti è un insieme di vettori di \(\mathbb{R}^n\) linearmente indipendenti.
Ogni autore deve comunque evitare logiche "circolari" e normalmente si basa su risultati già dimostrati nel testo, specialmente se didattico, o ritenuti già conosciuti dai lettori, quindi, nel caso che non si sapesse in partenza che le $n$-uple di coordinate di un insieme di vettori linearmente indipendenti è un insieme di vettori linearmente indipendenti, questa dimostrazione non sarebbe granché utile.
Ogni autore deve comunque evitare logiche "circolari" e normalmente si basa su risultati già dimostrati nel testo, specialmente se didattico, o ritenuti già conosciuti dai lettori, quindi, nel caso che non si sapesse in partenza che le $n$-uple di coordinate di un insieme di vettori linearmente indipendenti è un insieme di vettori linearmente indipendenti, questa dimostrazione non sarebbe granché utile.
ok grazie 
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