Matrice, autovalori e vincoli

[ronti1]

Ciao!

Dovrei svolgere un semplice esercizio ma non mi riesce. Ve lo presento:

[highlight]"Consideriamo un vettore con componenti dipendenti dal tempo $x(t) in RR^n$ ed una matrice $A in RR^(nxxn)$

Si consideri il seguente sistema:[/highlight]

$ { ( dot(x)(t)=Ax(t) ),( x_i(t)>=0 forall i ),( sum x_i(t)=gamma forall t),( gamma = text(costante) in RR\\ {0}):} $

[highlight]Dimostrare che $A$ ha un autovalore in zero, sfruttando il vettore $vec(1)^t$, ovvero il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento ."

[/highlight]

Mio svolgimento:

Sia $vec(1)^t$ il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento:

$vec(1)^t= (1 , 1 , ... , 1)$

Io ho pensato che la terza equazione del sistema mi dice che:

$vec(1)^t A x(t)=0 rArr vec(1)^t A=0$

Ho scritto ciò in modo da poter usare l'espressione $A^tvec(1)=0$ per mostrare che $A$ ha un autovalore uguale a zero.


Problema:

Devo però adesso dimostrare che:

se $A^tvec(1)=0$ allora $A'$ (e dunque anche $A$) ha un autovalore uguale a zero.


So che $A^tvec(1)=0$ implica che, per ogni colonna della matrice $A$, la somma degli elementi sulla colonna è uguale a zero. Questo cosa ha a che vedere con il determinante e con gli autovalori?

Qualche idea???

EDIT: mi sono scordato di scrivere $gamma>0$

[Studente Anonimo]

"ronti":$vec(1)^t A=0$

Se questo vale allora è immediato che $A$ ha un nucleo non banale, e quindi ha $0$ come autovalore (un vettore che sta nel nucleo di $A$ è esattamente un autovettore associato all'autovalore zero, per definizione di autovettore e autovalore). Ma non ho capito come fai a dimostrare che $vec(1)^t A=0$.

[ronti1]

"Martino":[quote="ronti"]$vec(1)^t A=0$

Se questo vale allora è immediato che $A$ ha un nucleo non banale, e quindi ha $0$ come autovalore (un vettore che sta nel nucleo di $A$ è esattamente un autovettore associato all'autovalore zero, per definizione di autovettore e autovalore). [/quote]


Quindi se esiste un vettore $vec(v)_1$ tale che

$vec(v)_1^t A=0$

allora $vec(v)_1^t$ è un autovettore associato all'autovalore $lambda_1=0$ della matrice $A$?

E giusto quanto ho scritto?

"Martino":
Ma non ho capito come fai a dimostrare che $vec(1)^t A=0$.

So che, dal sistema dato

$ vec(1)^t x(t)= sum x_i(t)= gamma != 0$

Se scrivo

$vec(1)^tAx(t)=0$

dato che $ vec(1)^t x(t)!=0$

deve valere

$vec(1)^tA=0$

[Studente Anonimo]

"ronti":
Quindi se esiste un vettore $vec(v)_1$ tale che

$vec(v)_1^t A=0$

allora $vec(v)_1^t$ è un autovettore associato all'autovalore $lambda_1=0$ della matrice $A$?

E giusto quanto ho scritto?

Non esattamente, hai (come hai scritto nell'altro intervento) che $vec(v)_1$ è autovettore associato all'autovalore $lambda_1=0$ della matrice $A^t$ (trasposta di $A$).

Ma questo implica che $det(A^t)=0$. D'altra parte tu sai che $det(A^t)=det(A)$, quindi $det(A)=0$. Quindi $A$ ha un nucleo non banale. Un vettore del nucleo di $A$ è un autovettore associato all'autovalore $0$.

So che, dal sistema dato

$ vec(1)^t x(t)= sum x_i(t)= gamma != 0$

Se scrivo

$vec(1)^tAx(t)=0$

dato che $ vec(1)^t x(t)!=0$

deve valere

$vec(1)^tA=0$

?? Questa dimostrazione non ha senso. Come fai a dedurre che $vec(1)^tA=0$ dal fatto che $ vec(1)^t x(t)!=0$ ?

[Studente Anonimo]

"ronti":$vec(1)^t A=0$

Questo in generale è falso. Pensa al caso in cui
$x(t)=((1),(2))$ (vettore costante), $A=((2,-1),(2,-1))$.
Chiaramente [tex]Ax=0=\dot{x}[/tex], tuttavia $(1,1)A = (4,-2) ne (0,0)$.

[ronti1]

Considera il seguente sistema:

$ { ( sum x_i(t)=vec(1)^tx(t)=gamma=text(costante) ),(vec(1)^tAx(t)=0 ):} $

Le uniche soluzioni di questo sistema sono date dalla matrice $A$ tale che

$vec(1)^tA= 0$

[ronti1]

"Martino":
Un vettore del nucleo di $A$ è un autovettore associato all'autovalore $0$.

Un vettore è un vettore del nucleo di $A$ se soddisfa

$Av=0$

giusto?

[Studente Anonimo]

"ronti":Considera il seguente sistema:

$ { ( sum x_i(t)=vec(1)^tx(t)=gamma=text(costante) ),(vec(1)^tAx(t)=0 ):} $

Le uniche soluzioni di questo sistema sono date dalla matrice $A$ tale che

$vec(1)^tA= 0$

Questo è falso, ti ho dato un controesempio sopra.

[gugo82]

Chiaramente il vettore di "uni", i.e. la funzione vettoriale costante $mathbf(x)(t) := mathbf(1)$, non soddisfa i vincoli.

Perché?
Beh, è semplice: mentre è vero che $mathbf(x)(t) >= mathbf(0)$ (con le relazione $>=$ che ha valenza componente per componente), è falso che $sum_i x_i(i) = gamma$ (a parte quando $gamma = n$) perché la somma a primo membro è identicamente uguale ad $n$.
Questo problema del vincolo si risolve normalizzando, i.e. considerando al posto degli "uni", la funzione identicamente uguale a $gamma/n$, i.e. $mathbf(x)(t) = gamma/n mathbf(1)$, però... Però c'è un errore nel testo del problema, poiché questo vettore costante soddisfa il vincolo $mathbf(x)(t) >= 0$ solo se $gamma >= 0$, cosa che non è specificata nel testo.

Facendo finta che effettivamente $gamma >= 0$, hai che se la funzione vettoriale costante $mathbf(x)(t) := gamma/n mathbf(1)$ è una soluzione allora $mathbf(1)$ è un autovettore di $A$ associato all'autovalore $0$. Questa è una cosa banale.
Ma l'esercizio, a quanto pare, ti sta chiedendo di dimostrare il viceversa, ossia che se il problema ha soluzione allora $A$ ha un'autovalore nullo.
Questo mi pare un po' strano, ma potrebbe pure essere... Ci si deve pensare.

Posso però chiederti una cosa: da dov'è preso l'esercizio? Sei sicuro che il testo sia trascritto (o tradotto, nel caso) bene?

[Studente Anonimo]

Il problema è interessante! Visto che è passato un po' di tempo dico a cosa ho pensato.

Data la soluzione [tex]x(t)[/tex] come nel testo, chiamiamo $V$ il sottospazio vettoriale di $RR^n$ generato da [tex]\{x(t)\ :\ t \in \mathbb{R}\}[/tex] e chiamiamo $W$ il sottospazio vettoriale di $RR^n$ generato da [tex]\{\dot{x}(t)\ :\ t \in \mathbb{R}\}[/tex]. Diciamo che $V$ è definito da $m$ equazioni, cioè [tex]v=(v_1,\ldots,v_n) \in V[/tex] se e solo se

[tex]\sum_{i=1}^n a_{ij} v_i = 0[/tex], per $j=1,...,m$,
dove [tex]a_{ij} \in \mathbb{R}[/tex] per ogni [tex]i=1,\ldots,n[/tex], [tex]j=1,\ldots,m[/tex].

Sostituendo [tex]v_i=x_i(t)[/tex] e derivando rispetto a $t$ otteniamo che [tex]\dot{x}(t)[/tex] soddisfa tutte queste equazioni, e quindi $W$ è contenuto in $V$.

Ora, consideriamo la funzione [tex]f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex] definita da $f(v)=Av$. Allora possiamo considerare lo spazio $f(V)$. Siccome [tex]f(x) = A x = \dot{x}[/tex] per [tex]x=x(t)[/tex], sappiamo che [tex]f(V) = AV = W[/tex]. Ma abbiamo appena dimostrato che [tex]W \leq V[/tex], e quindi [tex]f(V) = W \leq V[/tex].

Ora, se $A$ è invertibile, allora [tex]f[/tex] è biiettiva, quindi induce un isomorfismo di spazi vettoriali [tex]V \cong f(V)[/tex], in particolare gli spazi $V$ e $f(V)$ hanno la stessa dimensione. Da [tex]f(V) = W \leq V[/tex] segue allora che [tex]f(V)=W=V[/tex] e quindi [tex]W=V[/tex]. Ma sappiamo che

(1) [tex]\sum_{i=1}^n x_i(t) = \gamma \neq 0[/tex] per ogni $t in RR$, e quindi derivando
(2) [tex]\sum_{i=1}^n \dot{x_i}(t) = 0[/tex] per ogni $t in RR$.

Ma allora, siccome $W$ è generato da [tex]\{\dot{x}(t)\ :\ t \in \mathbb{R}\}[/tex], deduciamo da (2) che per ogni [tex]w = (w_1, \ldots, w_n) \in W[/tex] deve valere che

(3) [tex]\sum_{i=1}^n w_i = 0[/tex].

L'uguaglianza (1) implica che i vettori [tex]x(t)[/tex] non possono soddisfare l'equazione (3), e contraddice il fatto che [tex]W=V[/tex].

Quindi $A$ non è invertibile, cioè ha $0$ come autovalore.

In tutto questo non ho usato che [tex]x(t) \geq 0[/tex] per ogni [tex]t \in \mathbb{R}[/tex].

[Studente Anonimo]

Il problema proposto da ronti è un classico esempio di sistema vincolato nello studio di sistemi dinamici, in particolare nello studio dei sistemi lineari tempo invarianti vincolati.

Si è sicuramente scordato di scrivere l'ulteriore disequazione $gamma>0$

[ronti1]

Confermo quello che ha detto tauto e stasera appena torno a casa rispondo a gugo e Martino

[ronti1]

"Martino":[quote="ronti"]$vec(1)^t A=0$

Questo in generale è falso. Pensa al caso in cui
$x(t)=((1),(2))$ (vettore costante), $A=((2,-1),(2,-1))$.
Chiaramente [tex]Ax=0=\dot{x}[/tex], tuttavia $(1,1)A = (4,-2) ne (0,0)$.[/quote]

Sì ok... ma considera di non conoscere né $A$ né $x(t)$.

Sai solo che la somma delle componenti di $x(t)$ è uguale ad una costante maggiore di zero.

Allora, in tal caso, dato che $vec(1)^t x(t)$ è proprio uguale alla somma delle componenti di $x(t)$, da ciò ne deduco che deve essere il prodotto

$vec(1)^t A$

a dover essere uguale a zero

[ronti1]

"gugo82":
Questo problema del vincolo si risolve normalizzando, i.e. considerando al posto degli "uni", la funzione identicamente uguale a $gamma/n$, i.e. $mathbf(x)(t) = gamma/n mathbf(1)$, però... Però c'è un errore nel testo del problema, poiché questo vettore costante soddisfa il vincolo $mathbf(x)(t) >= 0$ solo se $gamma >= 0$, cosa che non è specificata nel testo.
...

Posso però chiederti una cosa: da dov'è preso l'esercizio? Sei sicuro che il testo sia trascritto (o tradotto, nel caso) bene?

gugo ti confermo che l'unica cosa che mi sono dimenticato di riportare è la disequazione

$gamma > 0 $

per il resto ho trascritto tutto.

L'esercizio è preso dalle slide di un professore universitario. Tranne quella disequazione che avevo dimenticato (mi scuso per questo), per il resto ho trascritto tutto

[ronti1]

"Martino":

Ora, se $A$ è invertibile, allora [tex]f[/tex] è biiettiva, quindi induce un isomorfismo di spazi vettoriali [tex]V \cong f(V)[/tex], in particolare gli spazi $V$ e $f(V)$ hanno la stessa dimensione. Da [tex]f(V) = W \leq V[/tex] segue allora che [tex]f(V)=W=V[/tex] e quindi [tex]W=V[/tex]. Ma sappiamo che

Per mia ignoranza di alcuni argomenti di algebra lineare non ho ben compreso questo passaggio

[Studente Anonimo]

"ronti":[...] ne deduco che deve essere il prodotto

$vec(1)^t A$

a dover essere uguale a zero

Ma cosa dici? Ti ho dato un controesempio!

A scanso di equivoci, lo sai cos'è un controesempio?

[ronti1]

So cos'è un controesempio ma in questo caso non conosciamo $A$ e, affinché i vincoli siano rispettati, può darsi che possa essere fatta solo in un determinato modo.
Ti mostro più chiaramente i miei ragionamenti:

$sum x_i(t)= gamma= text(costante)$

$rArr (d gamma)/(dt)= sum dot(x_i)(t)=0$

$rArr sum dot(x_i)(t)= vec(1)^t dot(x_i)(t)=0$

$ dot(x)(t)= Ax(t) rArr vec(1)^t dot(x_i)(t)= vec(1)^t Ax(t)$

$vec(1)^t dot(x_i)(t)=0 rArr vec(1)^t Ax(t)=0$

mi ritrovo con quest'ultima equazione e so per certo che

$vec(1)^t x(t)= gamma$

Quindi deve valere

$vec(1)^tA=0$

Ovvero $A$ deve essere tale per cui vale la seguente equazione

$vec(1)^tA=0$

[Studente Anonimo]

"ronti":so per certo che

$vec(1)^t x(t)= gamma$

Quindi deve valere

$vec(1)^tA=0$

Questo passaggio è critico e non l'hai dimostrato! Lo devi dimostrare.

E ti ripeto che stai cercando di dimostrare una cosa falsa. Ti ho dato un controesempio. Non so come dirtelo.

Ti ho esibito una matrice A e una funzione $x=x(t)$ che soddisfa tutte le condizioni del testo e per i quali non è vero che $vec(1)^t A=0$.

[Bokonon]

Mi sembra un dialogo fra sordi
In base al vincolo, @ronti ha mostrato che si arriva a:
$vec(1)^t Ax(t)=0$
Affinchè questa identità valga SEMPRE (indipendentemente dal fatto ci siano anche vettori $x(t)$ che per dati valori di t appartengano al kernel di A come @Martino invocava nel "controesempio") deve seguire che:
$vec(1)^tA=0$
Tradotto, la somma delle righe di A deve dare SEMPRE il vettore nullo (o, in alternativa, il vettore unitario è un autovettore di $A^T$ rispetto all'autovalore zero).
Questa è la condizione da imporre ad A se si vuole che il sistema in oggetto abbia sempre soluzione.
Pertanto A è singolare.

[Studente Anonimo]

"Bokonon":Mi sembra un dialogo fra sordi
In base al vincolo, @ronti ha mostrato che si arriva a:
$vec(1)^t Ax(t)=0$
Affinchè questa identità valga SEMPRE (indipendentemente dal fatto ci siano anche vettori $x(t)$ che per dati valori di t appartengano al kernel di A come @Martino invocava nel "controesempio") deve seguire che:
$vec(1)^tA=0$
Tradotto, la somma delle righe di A deve dare SEMPRE il vettore nullo (o, in alternativa, il vettore unitario è un autovettore di $A^T$ rispetto all'autovalore zero).
Questa è la condizione da imporre ad A se si vuole che il sistema in oggetto abbia sempre soluzione.
Pertanto A è singolare.

Ma questa non è una dimostrazione, funziona solo se l'insieme dei vettori $x(t)$ contiene una base dello spazio $RR^n$.

Perché cercate di dimostrare una cosa falsa?

[Bokonon]

"Martino":
Perché cercate di dimostrare una cosa falsa?

Ma no Martino! Ho cercato di stendere un ponte fra i due dialoghi.
Permettimi di chiarire ulteriormente.
Dato il nostro sistema vincolato, si può provare che la matrice associata non può essere invertibile: ed è ciò che hai fatto tu! Ottimo, adesso sappiamo che il pool di matrici che può darci la speranza di risolvere il sistema è quello delle matrici singolari. Questo risponde al quesito posto da ronti. Ok?
Ora però il sistema mette in relazione un vettore di funzioni con le loro derivate, pertanto possiamo benissimo [size=150]dedurre[/size] "altro". Spero di aver enfatizzato a sufficienza il verbo dedurre
Nel particolare abbiamo che la somma delle derivate debba essere zero per ogni t.
Procedendo nella deduzione, scopriamo che il pool di matrici singolari che ci assicurano una soluzione al sistema si riduce a quelle la cui somma delle righe è il vettore nullo.
Anche la deduzione è una dimostrazione, no?