Matrice, autovalori e vincoli
Ciao!
Dovrei svolgere un semplice esercizio ma non mi riesce. Ve lo presento:
Mio svolgimento:
Sia $vec(1)^t$ il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento:
$vec(1)^t= (1 , 1 , ... , 1)$
Io ho pensato che la terza equazione del sistema mi dice che:
$vec(1)^t A x(t)=0 rArr vec(1)^t A=0$
Ho scritto ciò in modo da poter usare l'espressione $A^tvec(1)=0$ per mostrare che $A$ ha un autovalore uguale a zero.
Problema:
Devo però adesso dimostrare che:
se $A^tvec(1)=0$ allora $A'$ (e dunque anche $A$) ha un autovalore uguale a zero.
So che $A^tvec(1)=0$ implica che, per ogni colonna della matrice $A$, la somma degli elementi sulla colonna è uguale a zero. Questo cosa ha a che vedere con il determinante e con gli autovalori?
Qualche idea???
EDIT: mi sono scordato di scrivere $gamma>0$
Dovrei svolgere un semplice esercizio ma non mi riesce. Ve lo presento:
[highlight]"Consideriamo un vettore con componenti dipendenti dal tempo $x(t) in RR^n$ ed una matrice $A in RR^(nxxn)$
Si consideri il seguente sistema:[/highlight]
$ { ( dot(x)(t)=Ax(t) ),( x_i(t)>=0 forall i ),( sum x_i(t)=gamma forall t),( gamma = text(costante) in RR\\ {0}):} $
[highlight]Dimostrare che $A$ ha un autovalore in zero, sfruttando il vettore $vec(1)^t$, ovvero il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento ."
[/highlight]Si consideri il seguente sistema:[/highlight]
$ { ( dot(x)(t)=Ax(t) ),( x_i(t)>=0 forall i ),( sum x_i(t)=gamma forall t),( gamma = text(costante) in RR\\ {0}):} $
[highlight]Dimostrare che $A$ ha un autovalore in zero, sfruttando il vettore $vec(1)^t$, ovvero il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento ."
Mio svolgimento:
Sia $vec(1)^t$ il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento:
$vec(1)^t= (1 , 1 , ... , 1)$
Io ho pensato che la terza equazione del sistema mi dice che:
$vec(1)^t A x(t)=0 rArr vec(1)^t A=0$
Ho scritto ciò in modo da poter usare l'espressione $A^tvec(1)=0$ per mostrare che $A$ ha un autovalore uguale a zero.
Problema:
Devo però adesso dimostrare che:
se $A^tvec(1)=0$ allora $A'$ (e dunque anche $A$) ha un autovalore uguale a zero.
So che $A^tvec(1)=0$ implica che, per ogni colonna della matrice $A$, la somma degli elementi sulla colonna è uguale a zero. Questo cosa ha a che vedere con il determinante e con gli autovalori?
Qualche idea???
EDIT: mi sono scordato di scrivere $gamma>0$
Risposte
"Bokonon":Ma nel controesempio che ho proposto la somma delle righe di $A$ non è il vettore nullo.
Procedendo nella deduzione, scopriamo che il pool di matrici singolari che ci assicurano una soluzione al sistema si riduce a quelle la cui somma delle righe è il vettore nullo.
Continuo a non capire cosa stai dimostrando.
EDIT: Chiedo scusa ho per sbaglio modificato questo commento anziché scriverne uno nuovo. Errore mio.
In questo post discutevo ancora le mie ragioni. Ma Martino nel post successivo ha dimostrato che ha ragione lui (purtroppo).
In questo post discutevo ancora le mie ragioni. Ma Martino nel post successivo ha dimostrato che ha ragione lui (purtroppo).
Considera la funzione $x:RR to RR^2$ definita da
$x(t)=((1),(2))$ per ogni $t in RR$. Si tratta di una funzione che assume lo stesso valore per ogni $t in RR$, cioè una funzione costante. In particolare la sua derivata è il vettore nullo: [tex]\dot{x}=0[/tex] (identicamente, cioè per ogni $t in RR$).
Considera la matrice
$A=((2,-1),(2,-1))$
Allora abbiamo che [tex]A \cdot x(t)=0=\dot{x}(t)[/tex], quindi la prima delle tue condizioni è soddisfatta.
La seconda anche, $x_i(t) ge 0$ per ogni $i$, infatti $x_1(t)=1 ge 0$ e $x_2(t) = 2 ge 0$.
La terza anche, perché $sum_{i=1}^2 x_i(t) = 1+2 = 3$ è una costante positiva ($gamma=3$). E quindi anche la quarta e la quinta.
Inoltre $(1,1)A = (4,-2) ne (0,0)$. Cioè la somma delle righe di $A$ non è la riga nulla.
Mi dici gentilmente dove sta l'errore in quanto ho appena scritto? Ti ho appena dimostrato che la matrice $A$ che ti ho proposto rispetta tutte le condizioni che hai proposto tu, e tuttavia $vec(1) * A ne 0$.
Ti faccio osservare che continui a fare affermazioni senza dimostrarle, come questa:
$x(t)=((1),(2))$ per ogni $t in RR$. Si tratta di una funzione che assume lo stesso valore per ogni $t in RR$, cioè una funzione costante. In particolare la sua derivata è il vettore nullo: [tex]\dot{x}=0[/tex] (identicamente, cioè per ogni $t in RR$).
Considera la matrice
$A=((2,-1),(2,-1))$
Allora abbiamo che [tex]A \cdot x(t)=0=\dot{x}(t)[/tex], quindi la prima delle tue condizioni è soddisfatta.
La seconda anche, $x_i(t) ge 0$ per ogni $i$, infatti $x_1(t)=1 ge 0$ e $x_2(t) = 2 ge 0$.
La terza anche, perché $sum_{i=1}^2 x_i(t) = 1+2 = 3$ è una costante positiva ($gamma=3$). E quindi anche la quarta e la quinta.
Inoltre $(1,1)A = (4,-2) ne (0,0)$. Cioè la somma delle righe di $A$ non è la riga nulla.
Mi dici gentilmente dove sta l'errore in quanto ho appena scritto? Ti ho appena dimostrato che la matrice $A$ che ti ho proposto rispetta tutte le condizioni che hai proposto tu, e tuttavia $vec(1) * A ne 0$.
Ti faccio osservare che continui a fare affermazioni senza dimostrarle, come questa:
Deve soddisfare
$vec(1)^T A=0$
Ovvero la somma degli elementi di ogni singola colonna di $A$ deve essere uguale a zero.
Allora mi sto perdendo in qualche proprietà del calcolo algebrico con le matrici, perché sembra assurdo che, considerando il sistema del mio ultimo post (tra cui $vec(1)^tx(t)=gamma!=0$)
$vec(1)^t Ax(t)=0 $ NON IMPLICA $vec(1)^tA=0$
Non capisco quale sia il punto in cui mi sto perdendo
$vec(1)^t Ax(t)=0 $ NON IMPLICA $vec(1)^tA=0$
Non capisco quale sia il punto in cui mi sto perdendo
"ronti":
Allora mi sto perdendo in qualche proprietà del calcolo algebrico con le matrici, perché sembra assurdo che, considerando il sistema del mio ultimo post (tra cui $vec(1)^tx(t)=gamma!=0$)
$vec(1)^t Ax(t)=0 $ NON IMPLICA $vec(1)^tA=0$
Non capisco quale sia il punto in cui mi sto perdendo
Non capisco il problema: il fatto che tu sia convinto che una cosa sia vera non significa che sia vera. Inoltre per essere sicuro che sia vera basta che la dimostri.
Tuttavia in questo caso non riuscirai a dimostrarlo perché, come ti ho già dimostrato, in generale non è vero che $vec(1)^t A = 0$.
Secondo me ti confondi con un altro fatto: se hai una matrice $A$ ($n xx n$, con coefficienti reali) tale che $vec(1)^t Av=0$ per ogni vettore $v in RR^n$ allora $vec(1)^t A=0$. Questo è vero.
Il problema è che nel caso in esame $x(t)$ non assume tutti i valori possibili, ma solo alcuni. Quindi hai una condizione del tipo "$Mv=0$ per un certo insieme di vettori $v$" (dove $M=vec(1)^t A$) e non puoi dedurre da questo che $M=0$.
"Martino":
Ma nel controesempio che ho proposto la somma delle righe di $A$ non è il vettore nullo.
Perchè non è un controesempio per due motivi:
a) non vale per ogni t
b) non porta a una soluzione completa che poi rispetta il vincolo
Prendiamo il tuo sistema $x'(t)=Ax(t)$ con $ A=( ( 2 , -1 ),( 2 , -1 ) ) $
La soluzione completa del tuo sistema di equazioni differenziali di primo grado (come certo saprai) è:
$ { ( x_1(t)=c_1+c_2e^t ),( x_2(t)=2c_1+c_2e^t ):} $
(e non solo il vettore costante per $c_1=1$ e $c_2=0$)
Vediamo se la soluzione rispetta il vincolo: $x_1(t)+x_2(t)=3c_1+2c_2e^t!=gamma$
Va da se che anche $x_1'(t)+x_2'(t)=2c_2e^t!=0$
Ora modifichiamo A in modo che la somma delle righe sia il vettore nullo, pertanto $ A=( ( 2 , -1 ),( -2 , 1 ) ) $
Già è evidente che la soluzione costante è la stessa, ma la soluzione completa soddisferà il vincolo?
In questo caso abbiamo $ { ( x_1(t)=c_1+c_2e^t ),( x_2(t)=2c_1-c_2e^t ):} $
$x_1(t)+x_2(t)=3c_1=gamma$
$x_1'(t)+x_2'(t)=0$
E' una magia? No, è la forma che la matrice A deve avere affinchè la soluzione soddisfi il vincolo.
Spero di essere stato chiaro!
Capisco Bokonon,
In questo caso c'è un problema di formulazione del problema. Io l'avevo interpretato così: se questo sistema ammette una soluzione allora A è singolare.
Tu invece l'hai interpretato così: se ogni soluzione $x(t)$ soddisfa le condizioni [...] allora A è singolare.
Sono due problemi completamente diversi! Ronti dovrebbe dirci quale di queste due formulazioni è quella esatta.
In questo caso c'è un problema di formulazione del problema. Io l'avevo interpretato così: se questo sistema ammette una soluzione allora A è singolare.
Tu invece l'hai interpretato così: se ogni soluzione $x(t)$ soddisfa le condizioni [...] allora A è singolare.
Sono due problemi completamente diversi! Ronti dovrebbe dirci quale di queste due formulazioni è quella esatta.
"Martino":
In questo caso c'è un problema di formulazione del problema. Io l'avevo interpretato così: se questo sistema ammette una soluzione allora A è singolare.
Ma è esattamente ciò che ho scritto nel secondo post!
Si può dimostrare che la matrice debba essere singolare "in generale" come hai fatto tu, oppure che debba avere (per deduzione) una specifica forma che è comunque singolare (come stava tentando di fare ronti ma in modo delirante
)
"Bokonon":
Ora modifichiamo A in modo che la somma delle righe sia il vettore nullo, pertanto $ A=( ( 2 , -1 ),( -2 , 1 ) ) $
Già è evidente che la soluzione costante è la stessa, ma la soluzione completa soddisferà il vincolo?
In questo caso abbiamo $ { ( x_1(t)=c_1+c_2e^t ),( x_2(t)=2c_1-c_2e^t ):} $
$x_1(t)+x_2(t)=3c_1=gamma$
$x_1'(t)+x_2'(t)=0$
Ma non tutte queste soluzioni rispettano il vincolo "$x_i(t) ge 0$ per ogni $i$" (pensa al caso in cui $c_1$ e $c_2$ sono negativi).
Quindi in che senso stai interpretando i vincoli?
"Martino":
Ma non tutte queste soluzioni rispettano il vincolo "$x_i(t) ge 0$ per ogni $i$" (pensa al caso in cui $c_1$ e $c_2$ sono negativi).
Quindi in che senso stai interpretando i vincoli?
Basta appunto scegliere delle opportune condizioni iniziali per determinare l'insieme delle soluzioni che soddisfano anche il resto.
Comunque sia stiamo parlando di una slide e quel vincolo $x_i(t)>=0$ l'ho trovato subito "artificiale". Non è necessario e comunque sia può essere soddisfatto.
Infatti nella slide $gamma$ è assunto solo diverso da zero (che è il caso generale), mentre se si assume quel vincolo è chiaro (come hanno fatto notare) che $gamma>0$.
Non sappiamo di quale problema specifico stesse parlando il prof.
Viviamo in tempi di post in spizzichi e bocconi ma questo non inficia i ragionamenti fatti
Benissimo, sono d'accordo, togliendo la condizione $x_i(t) ge 0$ l'interpretazione secondo cui "ogni soluzione rispetta i vincoli" mi sembra ragionevole. Qui credo che ronti dovrebbe spiegarci come l'autore del testo lo stava interpretando.
"Bokonon":
Viviamo in tempi di post in spizzichi e bocconi ma questo non inficia i ragionamenti fatti
Mi scuso per essermi dimenticato il vincolo
$gamma>0$
per quanto riguarda il resto, ho riportato tutto minuziosamente
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