Matrice: autovalori e autospazi

[squalo83]

Salve a tutti ho questo problema.
Si consideri la matrice:

A=$((2,1,0),(0,-2,0),(0,2,2))$

Determinare gli autovalori di A e per ogni autovalore il relativo autospazio.

Allora per trovare gli autovalori ho fatto come segue.

det(A-$\lambda$) = det( $((2,1,0),(0,-2,0),(0,2,2))$ - $\lambda$$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ ) = det( $((2,1,0),(0,-2,0),(0,2,2))$ - $((\lambda ,0,0),(0,\lambda,0),(0,0,\lambda))$ ) =

= det ( $((2-\lambda,1,0),(0,-2-\lambda,0),(0,2,2-\lambda))$ )

Calcolo il determinante di questa matrice e ottengo: ($\lambda^2$ - 4$\lambda$ + 4) $*$ (-2 -$\lambda$)
Da qui trovo che gli autovalori sono $\lambda_1$ = 2 e $\lambda_2$ = -2

È giusto?

Per quanto riguarda il valore dell'autospazio relativo ad ogni autovalore ho fatto come segue:

$((2,1,0),(0,-2,0),(0,2,2))$ $*$ $((x),(y),(z))$ = -2 $*$ $((x),(y),(z))$ = $((-2x),(-2y),(-2z))$

Da qui ottengo il sistema seguente:

$\{(2x + y = -2x),(-2y = -2y),(2y + 2z = -2z):}$

Ottengo così che l'autospazio per l'autovalore $\lambda_1$ = (x,-4x,2x)

È giusto?

Proseguo a trovare l'autospazio dell'altro autovalore. Mi comporto allo stesso modo ottenendo il sistema seguente:

$\{(2x + y = 2x),(-2y = 2y),(2y + 2z = 2z):}$

Non so risolvere questo sistema. Ma soprattutto il sistema è corretto?

Grazie.

[Musicam]

l'autovalore 2 ha molteplicità 2 giusto?

[Lorin1]

EDIT: Partiamo dall'autovalore $t=2$ quello che posso dire è che la molteplicità algebrica è 2, per quella geometrica basta ricordare che $m.g.=dimRR^3-rg(A-2I)=rg((0,1,0),(0,-4,0),(0,2,0))$. La matrice in questione ha due colonne nulle, quindi il rango sarà inevitabilmente 1, da cui ricavo che la molteplicità geometrica è 2, dunque l'endomorfismo è diagonalizzabile.