Matrice associata ed espressione generale dell'end. URGENTE!!
ciao a tutti!
Sia f l’endomorfismo di R3 definito nel modo seguente
f(e1 +e2)=2e1 +2e2,
f(e1 −e3)=2e1 −2e3,
f(e1 +e2 +e3)=e2 +e3.
i punti che mi chiede l'esercizio non sto a scriverli perche sono cose che mi riescono ma è la prima volta che trovo un endomorfismo scritto in questo modo..come trovo la matrice associata ( e quindi l espressione generale dell'endomorfismo)
grazie in anticipo!
Sia f l’endomorfismo di R3 definito nel modo seguente
f(e1 +e2)=2e1 +2e2,
f(e1 −e3)=2e1 −2e3,
f(e1 +e2 +e3)=e2 +e3.
i punti che mi chiede l'esercizio non sto a scriverli perche sono cose che mi riescono ma è la prima volta che trovo un endomorfismo scritto in questo modo..come trovo la matrice associata ( e quindi l espressione generale dell'endomorfismo)
grazie in anticipo!
Risposte
Mai sentito parlare di matrice di cambiamento di base? Comunque, sarei curioso di sapere "come" ti chiede di scrivere la matrice associata (ammesso che lo faccia).
no infatti mi sono espressa male.. cmq quindi devo solo trovare la matrice del cambiamento di base dalla base che ho tra parentesi alla base canonica di R3?
Sì... e no. Dipende cosa vuoi fare. Nel senso che potresti pure decidere di scegliere $\{v_1=e_1+e_2,\ v_2=e_1-e_3,\ v_3=e_1+e_2+e_3\}$ come base ed esprimere i membri destri come combinazione di $v_i$ e quindi scrivere la matrice rispetto a tale base. O ancora potresti osservare che per linearità la prima equazione diventa $f(e_1)+f(e_2)=2e_1+2e_2$ (analogamente le altre, e quindi risolvere un sistema che ti permetta di esprimere direttamente $f(e_i)$ in termini di $e_i$. Ci sono vari modi di procedere. Ecco perché mi chiedevo cosa volesse, realmente, l'esercizio. Perché magari di questa cosa non ne hai bisogno.
l'esercizio mi chiede di verificare la diagonalizzabilità dell'endomorfismo.. una volta trovate le espressioni di f(ei) in termini ei cosa faccio? uso i corrispettivi coefficienti per scrivere la matrice?
ho trovato
f(e1) = -e2 -e3
f(e2) = 2e1 + 3e2 +e3
f(e3) = -2e2 -e2 -e3
quindi la matrice da diagonalizzare sarà
0 -1 -1
2 3 1
-2 -1 -1
giusto? o i coeff. li devo scrivere per colonna?
f(e1) = -e2 -e3
f(e2) = 2e1 + 3e2 +e3
f(e3) = -2e2 -e2 -e3
quindi la matrice da diagonalizzare sarà
0 -1 -1
2 3 1
-2 -1 -1
giusto? o i coeff. li devo scrivere per colonna?
Ok, se devi diagonalizzare, hai bisogno della matrice associata. Dunque, se hai svolto i calcoli correttamente per trovare gli $f(e_1)$ la matrice associata e la trasposta di quella che hai appena scritto. Ti faccio presente che la matrice associata, nel caso avessi scelto la base che dicevo io, sarebbe stata più immediata. Infatti puoi osservare che, con le scelte precedenti di $v_i$
$$f(v_1)=2v_1,\qquad f(v_2)=2v_2,\qquad f(v_3)=v_1-v_2$$
per cui la matrice sarebbe venuta
$$\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
e determinare se sia diagonalizzabile o meno risulta molto semplice.
$$f(v_1)=2v_1,\qquad f(v_2)=2v_2,\qquad f(v_3)=v_1-v_2$$
per cui la matrice sarebbe venuta
$$\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
e determinare se sia diagonalizzabile o meno risulta molto semplice.
Ok. Grazie mille per il tuo tempo!
Ma figurati, per così poco? 
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