Matrice associata e due basi

[Samatarou]

Salve, ho bisogno del vostro aiuto in questo esercizio, vi chiederei di essere il quanto più possibile chiari e di spiegare i passaggi che fate, poiché ne ho davvero bisogno, procedo con la descrizione dell'esercizio:

"Si ha f: R^4 -> R^3 con

v1(1,1,0,0) f(v1) {1,1,1}
v2(0,1,1,0) f(v2) {0,0,0}
v3(0,0,1,1) f(v3) {1,1,2}
v4(0,0,0,1) f(v4) {0,0,1}

1) Determinate la matrice associata di f rispetto le basi canoniche R^4 e R^3

2)Determinare la matrice associata di f rispetto la base B3:{w1=(1,1,1); w2=(0,0,1); w3=(2,0,0)} e B4={v1,v2,v3,v4}.


Potreste per favore risolvermi questo esercizio e spiegarmelo? Grazie

[jitter1]

Ciao Samanta, ti scrivo una traccia del mio svolgimento, ma vedi se ti sembra corretto perché sto imparando anch'io ... :
Indico con $e_i$ i vettori della base canonica di $R^4$.

I PARTE

Abbiamo:

1) $ F( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ((1), (1), (1)) $, che equivale a scrivere $ F(e_1) + F(e_2) = ((1), (1), (1)) $

2) $ F( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) = ((0), (0), (0)) $ che equivale a $F(e_2) + F(e_3) = ((0), (0), (0)) $

3) $ F( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) = ((1), (1), (2)) $ che equivale a $ F( e_3 ) + F( e_4 ) = ((1), (1), (2)) $

4) $ F( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) = ((0), (0), (1)) $ che equivale a $F(e_4) = ((0), (0), (1)) $.

Dalla 3), ponendo $F(e_4) = ((0), (0), (1))$, ottieni $F(e_3) = ((1), (1), (2)) - ((0), (0), (1)) = ((1), (1), (1))$.
Ricavi poi le immagini di $F(e_1)$ ed $F(e_2)$.
La matrice M associata rispetto alle basi canoniche avrà come colonne proprio i vettori $F(e_1), F(e_2), F(e_3), F(e_4)$.

II PARTE. La nuova matrice associata all'applicazione avrà ordinatamente sulle colonne le immagini dei vettori della base del dominio ($B_4$) espressi nella base del codominio ($B_3$).
1) Quindi mi servono le immagini dei vettori di $B_4$. Li posso calcolare tramite la matrice M che ho trovato al punto precedente
2) Quello che ottengo sono vettori di $R^3$... ma ancora espressi nella base canonica, mentre noi li vogliamo rispetto a $B_3$.
3) Bisogna quindi esprimere tali vettori nella base di $B_3$: questi sono i vettori che vanno scritti nelle colonne della nostra matrice.