Matrice associata e basi degli spazi
Ciao,
ho questo esercizio:
Sia ${e_1,e_2, e_3}$ la base canonica di $RR^3$.
Sia $B={e_1, e_1 + e_2, 2e_1 - e_2 -e_3}$. Dimostrare che e' una base di $RR^3$.
Sia $f:RR^3\rightarrow RR^3$ una applicazione lineare definita da:
$f(e_1) = e_1$
$f(e_2) = e_1 + e_2$
$f(e_3) = e_1 -2e_2$
si determini la matrice di $f$ rispetto alla base $B$
Ora, ho fatto la combinazione lineare di B e pare che siano vettori linearmente indipendenti e quindi, essendo di dimensione 3, come $RR^3$, e' una base.
Ho un dubbio sulla seconda parte, in particolare la frase "rispetto alla base $B$".
Io so che il calcolo di una matrice di un'applicazione da V a U dipende dalle basi usate per V e U.
Ora, siccome dice "rispetto alla base B", suppongo che intenda che i vettori del dominio e del codominio si dovrebbero rappresentare rispetto alla suddetta base...
Quindi: per trovare questa matrice, devo convertire $e_1,e_2,e_3$ rispetto alla nuova base, applicare la funzione utilizzando questa nuova rappresentazione e da questo calcolare la matrice, giusto?
cioe', se $e_1 = (1,0,0)$ rispetto alla base canonica, devo calcolare un $v_1$ come combinazione lineare della nuova base, poi trovare $f(v_1)$ (e lo stesso per v2 e v3) e mettere questi valori nella matrice.
Oppure devo tenere i $f(e_1)$ usando la base canonica e convertire solo il valore che assume ($f(e_1) = v_1$)?
Oppure non ho capito una fava?
Grazie!
ho questo esercizio:
Sia ${e_1,e_2, e_3}$ la base canonica di $RR^3$.
Sia $B={e_1, e_1 + e_2, 2e_1 - e_2 -e_3}$. Dimostrare che e' una base di $RR^3$.
Sia $f:RR^3\rightarrow RR^3$ una applicazione lineare definita da:
$f(e_1) = e_1$
$f(e_2) = e_1 + e_2$
$f(e_3) = e_1 -2e_2$
si determini la matrice di $f$ rispetto alla base $B$
Ora, ho fatto la combinazione lineare di B e pare che siano vettori linearmente indipendenti e quindi, essendo di dimensione 3, come $RR^3$, e' una base.
Ho un dubbio sulla seconda parte, in particolare la frase "rispetto alla base $B$".
Io so che il calcolo di una matrice di un'applicazione da V a U dipende dalle basi usate per V e U.
Ora, siccome dice "rispetto alla base B", suppongo che intenda che i vettori del dominio e del codominio si dovrebbero rappresentare rispetto alla suddetta base...
Quindi: per trovare questa matrice, devo convertire $e_1,e_2,e_3$ rispetto alla nuova base, applicare la funzione utilizzando questa nuova rappresentazione e da questo calcolare la matrice, giusto?
cioe', se $e_1 = (1,0,0)$ rispetto alla base canonica, devo calcolare un $v_1$ come combinazione lineare della nuova base, poi trovare $f(v_1)$ (e lo stesso per v2 e v3) e mettere questi valori nella matrice.
Oppure devo tenere i $f(e_1)$ usando la base canonica e convertire solo il valore che assume ($f(e_1) = v_1$)?
Oppure non ho capito una fava?
Grazie!
Risposte
Ok, credo di aver capito: essendo f una trasformazione lineare, devo riscrivere i vettori secondo la base B, per poi applicare le proprieta' della funzione lineare ed usarla per come e' stata definita. Spiego.
A me interessa trovare la matrice, per ora potrei ricavarla dalla definizione di f, che pero' usa la base canonica.
Posso pero' scrivere i vettori in una nuova base B come:
$v = \alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3$
Quindi, posso scrivere
$f(e_1)=f(\alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3) = \alpha f(b_1) + \beta f(b_2) + \gamma f(b_3)$
e fare lo stesso con gli altri vettori della base canonica.
Quindi ne ricavo i coefficienti per la matrice.
Giusto?
A me interessa trovare la matrice, per ora potrei ricavarla dalla definizione di f, che pero' usa la base canonica.
Posso pero' scrivere i vettori in una nuova base B come:
$v = \alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3$
Quindi, posso scrivere
$f(e_1)=f(\alpha b_1 + \beta b_2 + \gamma b_3) = \alpha f(b_1) + \beta f(b_2) + \gamma f(b_3)$
e fare lo stesso con gli altri vettori della base canonica.
Quindi ne ricavo i coefficienti per la matrice.
Giusto?
Pero' in effetti non ho $f(b_i)$. Anche se, sempre per lo stesso ragionamento: avendo $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ posso scrivere qualsiasi vettore come combinazione lineare di quelli.
Non so perche', ma credo di non aver afferrato qualcosa, e sto facendo un giro inutile per niente :/
Non so perche', ma credo di non aver afferrato qualcosa, e sto facendo un giro inutile per niente :/
Ok, ho provato a risolverlo con le conclusioni a cui ero arrivato. Ecco come ho fatto, ditemi se ho sbagliato per favore:
Innanzi tutto riscrivo i vettori della base canonica ${e_1, e_2, e_3}$ come combinazione della nuova base
$B = {b_1, b_2, b_3}$,
$b_1 = e_1$
$b_2 = e_1 + e_2$
$b_3 = 2e_1 - e_2 - e_3$.
(gia' risolti i sistemi)
$(1,0,0) = 1b_1 + 0b_2 + 0b_3$
$(0,1,0) = -1b_1 + 1b_2 + 0b_3$
$(0,0,1) = -3b_1 + 1b_2 + 1b_3$
Ora applico f alla base B:
$f(b_1) = f(e_1) = e_1$
$f(b_2) = f(e_1) + f(e_2) = 2e_1 + e_2$
$f(b_3) = 2f(e_1) - f(e_2) - f(e_3) = -e3_2$
Usando gli indici dei vettori canonici riscritti, calcolo
$f(e_1) = f(b_1) = e_1$
$f(e_2) = -f(b_1) + f(b_2) = e_1 + e_2$
$f(e_3) = -3f(b_2) + f(b_2) + f(b_3) = -e_1 - 2e_2$
Ovvero: ho riscritto i valori del dominio passando per la base B e ho calcolato i valori di f. A questo punto devo prenderli e convertire anche loro secondo B per avere cosi'' anche il codominio secondo B (giusto??? su questo ho un dubbio).
Dunque:
$e_1 = b_1$
$e_1 + e_2 = b_2$
$-e_1 - 2e_2 = b_1 - 2b_2$
E uso quegli indici per costruire la matrice di f secondo la base B:
$A= ((1,0,1),(0,1,-2),(0,0,0))$
Vi prego di dirmi se ho toppato qualcosa, perche' oggi pomeriggio mi son fuso il cervello su queste matrici associate XD
Spero di aver capito bene, altrimenti all'esame il prof mangera' spezzatino di akiross XD
Grazie
Innanzi tutto riscrivo i vettori della base canonica ${e_1, e_2, e_3}$ come combinazione della nuova base
$B = {b_1, b_2, b_3}$,
$b_1 = e_1$
$b_2 = e_1 + e_2$
$b_3 = 2e_1 - e_2 - e_3$.
(gia' risolti i sistemi)
$(1,0,0) = 1b_1 + 0b_2 + 0b_3$
$(0,1,0) = -1b_1 + 1b_2 + 0b_3$
$(0,0,1) = -3b_1 + 1b_2 + 1b_3$
Ora applico f alla base B:
$f(b_1) = f(e_1) = e_1$
$f(b_2) = f(e_1) + f(e_2) = 2e_1 + e_2$
$f(b_3) = 2f(e_1) - f(e_2) - f(e_3) = -e3_2$
Usando gli indici dei vettori canonici riscritti, calcolo
$f(e_1) = f(b_1) = e_1$
$f(e_2) = -f(b_1) + f(b_2) = e_1 + e_2$
$f(e_3) = -3f(b_2) + f(b_2) + f(b_3) = -e_1 - 2e_2$
Ovvero: ho riscritto i valori del dominio passando per la base B e ho calcolato i valori di f. A questo punto devo prenderli e convertire anche loro secondo B per avere cosi'' anche il codominio secondo B (giusto??? su questo ho un dubbio).
Dunque:
$e_1 = b_1$
$e_1 + e_2 = b_2$
$-e_1 - 2e_2 = b_1 - 2b_2$
E uso quegli indici per costruire la matrice di f secondo la base B:
$A= ((1,0,1),(0,1,-2),(0,0,0))$
Vi prego di dirmi se ho toppato qualcosa, perche' oggi pomeriggio mi son fuso il cervello su queste matrici associate XD
Spero di aver capito bene, altrimenti all'esame il prof mangera' spezzatino di akiross XD
Grazie
A me pare una buona idea. Dammi un momento che ricontrollo passo per passo!
Dato che anche io ho un esame a breve e gli esercizi sono simili a questi..io non ci ho capito granchè...qualcuno può spiegarmelo passaggio per passaggio?pleaseeeeeeeeeeeeee
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo