Matrice associata da applicazione lineare
Sia V=R2 [t] lo spazio dei polinomi di grado <=2, e W quello delle matrici simmetriche di ordine 2. Sia f:V $ rarr $ W l'applicazione lineare definita ponendo f(1+t) = $ ( ( 1 , 2 ),( 2 , 1 ) ) $ , f(t+t^2) = $ ( ( 2 , 3 ),( 3 , 1 ) ) $ , f(t) = $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ .
a) date le basi B=(1,t,t^2) e B'= $ (( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ , $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ) $ , si determini la matrice A= B'[f]B.
b) si trovi una matrice ortogonale N $ in $ 3R3 tale che N-1 A N sia una matrice diagonale.
Non sono proprio riuscita ad iniziare l'esercizio perchè ho trovato subito problema del trovare i vettori che andranno a formare la mia matrice A. per questo vi chiedo di aiutarmi proprio nel passaggio dall'applicazione alla matrice.
a) date le basi B=(1,t,t^2) e B'= $ (( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ , $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ) $ , si determini la matrice A= B'[f]B.
b) si trovi una matrice ortogonale N $ in $ 3R3 tale che N-1 A N sia una matrice diagonale.
Non sono proprio riuscita ad iniziare l'esercizio perchè ho trovato subito problema del trovare i vettori che andranno a formare la mia matrice A. per questo vi chiedo di aiutarmi proprio nel passaggio dall'applicazione alla matrice.
Risposte
Ciao, per prima cosa vorrei dire che non sono del tutto certo di quello che sto per scrivere... 
Io direi che lo spazio della matrici $2\times 2$ simmetriche si può associare a $\mathbb{R}^3$ considerando tre vettori:
$$
\left(\begin{matrix}
1&0\\0&0
\end{matrix}\right) \rightarrow e_1 \qquad
\left(\begin{matrix}
0&1\\1&0
\end{matrix}\right) \rightarrow k \qquad
\left(\begin{matrix}
0&0\\0&1
\end{matrix}\right) \rightarrow e_3
$$
Allora possiamo dire quanto segue:
\begin{gather*}
f(1) + f(t) = e_1 + 2k + e_3\\
f(t) + f(t^{2}) = 2e_1 + 3k + e_3\\
f(t) = e_1 + k
\end{gather*}
Con qualche sostituzione ricaviamo
\begin{gather*}
f(1) = k + e_3\\
f(t) = e_1 + k\\
f(t^2) = e_1 + 2k + e_3
\end{gather*}
e possiamo quindi scrivere la matrice associata
$$
\left(\begin{matrix}
0&1&1\\1&1&2\\1&0&1
\end{matrix}\right)
$$
Ripeto: prendi tutto questo con il beneficio del dubbio e magari aspetta qualche conferma!
Io direi che lo spazio della matrici $2\times 2$ simmetriche si può associare a $\mathbb{R}^3$ considerando tre vettori:
$$
\left(\begin{matrix}
1&0\\0&0
\end{matrix}\right) \rightarrow e_1 \qquad
\left(\begin{matrix}
0&1\\1&0
\end{matrix}\right) \rightarrow k \qquad
\left(\begin{matrix}
0&0\\0&1
\end{matrix}\right) \rightarrow e_3
$$
Allora possiamo dire quanto segue:
\begin{gather*}
f(1) + f(t) = e_1 + 2k + e_3\\
f(t) + f(t^{2}) = 2e_1 + 3k + e_3\\
f(t) = e_1 + k
\end{gather*}
Con qualche sostituzione ricaviamo
\begin{gather*}
f(1) = k + e_3\\
f(t) = e_1 + k\\
f(t^2) = e_1 + 2k + e_3
\end{gather*}
e possiamo quindi scrivere la matrice associata
$$
\left(\begin{matrix}
0&1&1\\1&1&2\\1&0&1
\end{matrix}\right)
$$
Ripeto: prendi tutto questo con il beneficio del dubbio e magari aspetta qualche conferma!
c'è qualcuno che gentilmente può confermare?? 
Confermo È corretto!
L'unica cosa, non capisco perché minomic ha utilizzato $k$ anziché $e_2$ che forse rendeva di più l'idea.
EDIT: Altra domanda per minomic. Ma perché tirare in ballo l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici simmetriche e $RR^3$? Secondo me non era necessario...
È corretto!L'unica cosa, non capisco perché minomic ha utilizzato $k$ anziché $e_2$ che forse rendeva di più l'idea.
EDIT: Altra domanda per minomic. Ma perché tirare in ballo l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici simmetriche e $RR^3$? Secondo me non era necessario...
"Emar":
Confermo
L'unica cosa, non capisco perché minomic ha utilizzato $k$ anziché $e_2$ che forse rendeva di più l'idea.
Ottimo. Ho utilizzato $k$ perchè nella matrice comparivano due elementi $1$ anzichè uno solo.
In effetti, per coerenza, forse avrei dovuto chiamare$$
\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right) \rightarrow e_{23} \qquad \left(\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right) \rightarrow e_4
$$ma l'importante era capirsi.
"Emar":
EDIT: Altra domanda per minomic. Ma perché tirare in ballo l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici simmetriche e ? Secondo me non era necessario...
Perchè è la prima cosa che mi è venuta in mente, ma se vuoi proporre un altro metodo sarò felicissimo di leggerlo!
Ero solamente curioso di come mai avevi utilizzato quel risultato.
Semplicemente bastava indicare con $\mathbf{b_1^{\prime}}, \mathbf{b_2^{\prime}}, \mathbf{b_3^{\prime}}$ le matrici della base $\mathbf{B^{\prime}}$ e fare lo stesso procedimento, senza utilizzare l'isomorfismo con $RR^3$ e di conseguenza i vettori della base canonica.
Pura curiosità, nient'altro!
Semplicemente bastava indicare con $\mathbf{b_1^{\prime}}, \mathbf{b_2^{\prime}}, \mathbf{b_3^{\prime}}$ le matrici della base $\mathbf{B^{\prime}}$ e fare lo stesso procedimento, senza utilizzare l'isomorfismo con $RR^3$ e di conseguenza i vettori della base canonica.
Pura curiosità, nient'altro!
Sì in effetti hai ragione. Era più semplice così!
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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