Matrice associata all'endorfismo
salve gente ho bisogno del vostro aiuto...
Dati questi 3 polinomi $p1(t)=t^2+3*t, p2(t)=t^2-t, p3(t)=t^2-3*t+2$, devo scrivere la matrice associata all'endomorfismo T : R2[t] ---> R2[t] tale che $T(p1(t))=t^2, T(p2(t))=t^2-t-1, T(p3(t))=2*t+2$ rispetto ad una base di R2[t] a mia scelta.
Per la base pensavo di scegliere quella canonica cioè costituita dai vettori (1,0,0),(0,1,0), (0,0,1) dato che la dim=3.
Adesso però non so come andare avanti. aspetto vostre risposte grazie.
Dati questi 3 polinomi $p1(t)=t^2+3*t, p2(t)=t^2-t, p3(t)=t^2-3*t+2$, devo scrivere la matrice associata all'endomorfismo T : R2[t] ---> R2[t] tale che $T(p1(t))=t^2, T(p2(t))=t^2-t-1, T(p3(t))=2*t+2$ rispetto ad una base di R2[t] a mia scelta.
Per la base pensavo di scegliere quella canonica cioè costituita dai vettori (1,0,0),(0,1,0), (0,0,1) dato che la dim=3.
Adesso però non so come andare avanti. aspetto vostre risposte grazie.
Risposte
"Rock Drummer":
salve gente ho bisogno del vostro aiuto...
Dati questi 3 polinomi $p1(t)=t^2+3*t, p2(t)=t^2-t, p3(t)=t^2-3*t+2$, devo scrivere la matrice associata all'endomorfismo T : R2[t] ---> R2[t] tale che $T(p1(t))=t^2, T(p2(t))=t^2-t-1, T(p3(t))=2*t+2$ rispetto ad una base di R2[t] a mia scelta.
Io prenderei la base $\beta$ costituita dai polinomi $p_1(t)$, $p_2(t)$, $p_3(t)$ ;
dobbiamo determinare le coordinate delle immagini dei $p_k(t)$ rispetto alla base $\beta$.
Si ha:
$T (p_1(t)) = t^2 = lambda_1 p_1(t) + lambda_2 p_2(t) + lambda_3 p_3(t)$
una volta trovati i $lambda_k$, si mettono nella prima colonna della matrice;
$T(p_2(t)) = t^2 - t - 1 = mu_1 p_1(t) + mu_2 p_2(t) + mu_3 p_3(t)$
una volta trovati i $mu_k$, si mettono nella seconda colonna della matrice;
$T(p3(t)) = 2 t + 2 = eta_1 p_1(t) + eta_2 p_2(t) + eta_3 p_3(t)$
una volta trovati i $eta_k$, si mettono nella terza colonna della matrice.
umm non è che ho capito molto..
se magari mi fai un esempio solo per il primo polinomio capisco.. grazie
se magari mi fai un esempio solo per il primo polinomio capisco.. grazie
"franced":
Io prenderei la base $\beta$ costituita dai polinomi $p_1(t)$, $p_2(t)$, $p_3(t)$ ;
dobbiamo determinare le coordinate delle immagini dei $p_k(t)$ rispetto alla base $\beta$.
Si ha:
$T (p_1(t)) = t^2 = lambda_1 p_1(t) + lambda_2 p_2(t) + lambda_3 p_3(t)$
una volta trovati i $lambda_k$, si mettono nella prima colonna della matrice;
$T(p_2(t)) = t^2 - t - 1 = mu_1 p_1(t) + mu_2 p_2(t) + mu_3 p_3(t)$
una volta trovati i $mu_k$, si mettono nella seconda colonna della matrice;
$T(p3(t)) = 2 t + 2 = eta_1 p_1(t) + eta_2 p_2(t) + eta_3 p_3(t)$
una volta trovati i $eta_k$, si mettono nella terza colonna della matrice.
I polinomi $p_k$ sono
$p_1(t) = t^2+3*t$ , $p_2(t)=t^2-t$ , $p3(t)=t^2-3*t+2$ ;
per $p_1(t)$ hai:
$T(p_1(t)) = t^2 = lambda_1 (t^2+3*t) + lambda_2 (t^2-t) + lambda_3 (t^2-3*t+2)$
svolgi e trovi i coefficienti. Ora è più chiaro?
si fino a li avevo capito (grazie lo stesso).. però come si fa a svolgere cioè a trovare i coefficienti?
Principio di identità dei polinomi!
umm.. scusa x l'ingoranza ma non lo conosco.. se mi fai un esempio magari capisco meglio! grazie
"franced":
per $p_1(t)$ hai:
$T(p_1(t)) = t^2 = lambda_1 (t^2+3*t) + lambda_2 (t^2-t) + lambda_3 (t^2-3*t+2)$
svolgi e trovi i coefficienti.
$t^2 = (...) * t^2 + (...) * t + (...) * 1$
ora è chiaro?
sisi capito.. ok grazie!
"Rock Drummer":
sisi capito.. ok grazie!
Prego!
PS: quando hai calcolato tutti i coefficienti, ricordati di metterli
nella matrice per colonne!
sisi ok grazie di nuovo
allora ho un problema...
$T(p_1(t)) = t^2 = lambda_1 (t^2+3*t) + lambda_2 (t^2-t) + lambda_3 (t^2-3*t+2)$
raccogliendo ho $t^2 = t^2(lambda_1+lambda_2+lambda_3)+t(3lambda_1-lambda_2-3lambda_3)+2lambda_3$
scusa ma da qui come faccio a vedere quanto valgono i $lambda_i$???
$T(p_1(t)) = t^2 = lambda_1 (t^2+3*t) + lambda_2 (t^2-t) + lambda_3 (t^2-3*t+2)$
raccogliendo ho $t^2 = t^2(lambda_1+lambda_2+lambda_3)+t(3lambda_1-lambda_2-3lambda_3)+2lambda_3$
scusa ma da qui come faccio a vedere quanto valgono i $lambda_i$???
"Rock Drummer":
$T(p_1(t)) = t^2 = lambda_1 (t^2+3*t) + lambda_2 (t^2-t) + lambda_3 (t^2-3*t+2)$
raccogliendo ho $t^2 = t^2(lambda_1+lambda_2+lambda_3)+t(3lambda_1-lambda_2-3lambda_3)+2lambda_3$
A sinistra hai
$0*1 + 0*t + 1*t^2$
se uguagli con i rispettivi coefficienti a destra arrivi ad un sistema lineare nelle incognite $lambda_k$ .
ah, quindi se ho capito bene dovrebbe essere così (correggimi se sbaglio):
$lambda_1+lambda_2+lambda_3 = 1$
$3lambda_1-lambda_2-3lambda_3 = 0$
$2lambda_3=0$
risolvendo viene: $lambda_1 = 1/4$ , $lambda_2 = 3/4$ , $lambda_3 = 0$
quindi la prima colonna della matrice è costituita dal vettore(1/4,3/4,0)
$lambda_1+lambda_2+lambda_3 = 1$
$3lambda_1-lambda_2-3lambda_3 = 0$
$2lambda_3=0$
risolvendo viene: $lambda_1 = 1/4$ , $lambda_2 = 3/4$ , $lambda_3 = 0$
quindi la prima colonna della matrice è costituita dal vettore(1/4,3/4,0)
Non ho fatto i calcoli ma l'impostazione è ok.
ok grazie...
il vettore è giusto come l'ho scritto oppure deve essere (0,3/4,1/4)??? perchè dopo devo verificare se la matrice che trovo è diagonalizzabile...
il vettore è giusto come l'ho scritto oppure deve essere (0,3/4,1/4)??? perchè dopo devo verificare se la matrice che trovo è diagonalizzabile...
Il primo coefficiente è $1/4$; li devi mettere nella prima colonna.
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