Matrice associata all'endomorfismo
Ciao a tutti! Ho dei problemi con questo genere di esercizi:
"In $RR^(2,2)$ si consideri il sottospazio vettoriale $A(RR^(2,2))$ delle matrici antisimmetriche.
1. Determinare un sottospazio vettoriale $W$ supplementare di $A(RR^(2,2)).$
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $RR^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1 + A_2$ con $ A_1 in A(RR^(2,2)) $ e $ A_2 in W $ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice associata all’endomorfismo:
$ f: RR ^(2,2) rarr RR^(2,2) $ $ A rarr A_2 $
3. Considerato il prodotto scalare standard di $RR^(2,2)$ , determinare, con adeguata giustificazione,
i casi in cui $f$ e' un endomorfismo autoaggiunto."
Allora, il primo punto non mi ha dato problemi. Infatti, so che $W$ per essere supplementare deve essere tale che $W+A(RR^(2,2))=RR^(2,2)$. La dimensione di $W$ deve quindi essere uguale alla differenza delle dimensioni dei due insiemi, e quindi uguale a 3. Pertanto il sottospazio vettoriale più classico che posso prendere come supplementare a $A(RRR^(2,2))$ è ovviamente lo spazio delle matrici simmetriche di ordine 2 $S(RR^(2,2))$. Fin qui tutto ok. Ora però non sono sicura di come svolgere il secondo punto dell'esercizio.
Ho considerato la base canonica del sottospazio delle matrici antisimmetriche e quella del sottospazio delle matrici simmetriche. Unite, danno la seguente base di $RR^(2,2)$:
$ B=(( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) ; ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ; ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ; ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ) $ .
Ora però cosa devo fare? Ho pensato di mettere tutto in una matrice $ M(f)=( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ e poi ridurla in modo da ottenere una matrice simmetrica. Il ragionamento è giusto?
Il terzo non so proprio come affrontarlo!
"In $RR^(2,2)$ si consideri il sottospazio vettoriale $A(RR^(2,2))$ delle matrici antisimmetriche.
1. Determinare un sottospazio vettoriale $W$ supplementare di $A(RR^(2,2)).$
2. Sapendo che ogni matrice $A$ di $RR^(2,2)$ si decompone in modo unico come:
$A = A_1 + A_2$ con $ A_1 in A(RR^(2,2)) $ e $ A_2 in W $ ;
scrivere, rispetto a basi opportune, la matrice associata all’endomorfismo:
$ f: RR ^(2,2) rarr RR^(2,2) $ $ A rarr A_2 $
3. Considerato il prodotto scalare standard di $RR^(2,2)$ , determinare, con adeguata giustificazione,
i casi in cui $f$ e' un endomorfismo autoaggiunto."
Allora, il primo punto non mi ha dato problemi. Infatti, so che $W$ per essere supplementare deve essere tale che $W+A(RR^(2,2))=RR^(2,2)$. La dimensione di $W$ deve quindi essere uguale alla differenza delle dimensioni dei due insiemi, e quindi uguale a 3. Pertanto il sottospazio vettoriale più classico che posso prendere come supplementare a $A(RRR^(2,2))$ è ovviamente lo spazio delle matrici simmetriche di ordine 2 $S(RR^(2,2))$. Fin qui tutto ok. Ora però non sono sicura di come svolgere il secondo punto dell'esercizio.
Ho considerato la base canonica del sottospazio delle matrici antisimmetriche e quella del sottospazio delle matrici simmetriche. Unite, danno la seguente base di $RR^(2,2)$:
$ B=(( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) ; ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ; ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ; ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ) $ .
Ora però cosa devo fare? Ho pensato di mettere tutto in una matrice $ M(f)=( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ e poi ridurla in modo da ottenere una matrice simmetrica. Il ragionamento è giusto?
Il terzo non so proprio come affrontarlo!
Risposte
Per il punto 2. il ragionamento è sempre lo stesso, allo stesso modo in cui si fa per trovare la matrice associata ad un qualsiasi endomorfismo.
Scelta la tua base
$ B=(M_1=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) ; M_2=( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ; M_3=( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ; M_4=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ) $ .
devi fare così:
- calcola $f(M_1)$ e scrivilo come combinazione lineare di $M_1,M_2,M_3,M_4$. Poi metti i coefficienti di tale combinazione lineare sulla prima colonna della matrice cercata.
- prosegui ripetendo il procedimento per $f(M_2), f(M_3), f(M_4)$.
Scelta la tua base
$ B=(M_1=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) ; M_2=( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ; M_3=( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ; M_4=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ) $ .
devi fare così:
- calcola $f(M_1)$ e scrivilo come combinazione lineare di $M_1,M_2,M_3,M_4$. Poi metti i coefficienti di tale combinazione lineare sulla prima colonna della matrice cercata.
- prosegui ripetendo il procedimento per $f(M_2), f(M_3), f(M_4)$.
Grazie mille! La terza parte invece?
Per la terza parte, secondo me, puoi usare la definizione di applicazione autoaggiunta.
Ti ricordo che è sufficiente verificare la condizione sulle matrici di una base di $RR^{2,2}$.
Facci vedere i tuoi conti.
Ti ricordo che è sufficiente verificare la condizione sulle matrici di una base di $RR^{2,2}$.
Facci vedere i tuoi conti.
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