Matrice associata all'applicazione identica

[fredrik192]

Salve a tutti!
Non riesco a capire questa Osservazione del mio libro di algebra lineare, qualcuno riesce a spiegarmela?

" La matrice associata all'applicazione identica Id relativamente ad una qualunque base ordinata di V(spazio vettoriale finitamente generato di dimensione n) è la matrice identica "

grazie

[Seneca1]

L'applicazione identica è un endomorfismo di $V$ in $V$. Per costruire la matrice identica devi prendere come colonne le coordinate dei vettori di ciascuna delle immagini dei vettori della base, $id(v_1) , ... , id(v_n)$ ( cioè $v_1 , ... , v_n$ ) rispetto alla base scelta per il codominio, che è sempre $v_1 , ... , v_n$ (ordinatamente).

Allora $v_1 = 1 * v_1 + 0 * v_2 + ... + 0* v_n$
$v_2 = 0 * v_1 + 1 * v_2 + ... + 0* v_n$
...
$v_n = 0 * v_1 + 0 * v_2 + ... + 1* v_n$

La matrice è quindi quella identica.

[fredrik192]

Ma questo discorso che hai fatto è valido anche se scegliessi per il codominio una base diversa rispetto a quella del dominio?
Cioè avrei sempre la matrice identica?
Ti ringrazio

[Quinzio]

Provo a rispondere anch'io, poi Seneca correggerà/aggiungerà come vuole.

In questo caso no, se hai una base $B$ nello spazio di partenza e $B'$ nello spazio di arrivo, l'applicazione non è più rappresentata dalla matrice identica.

[fredrik192]

È la conferma che cercavo! Infatti se due spazi vettoriali hanno due basi uguali i due spazi coincidono, inoltre la matrice associata può essere identica solo quando l'applicazione che associa alla trasformazione una matrice è biunivoca, e questo avviene solo nel caso della scelta di una stessa base per dominio e codominio.
Direi che ho risolto, accetto comunque altri commenti da chi vuole!
Grazie a entrambi!

[Seneca1]

Quoto Quinzio. Infatti la matrice associata all'identità $id_V$ rispetto alle basi $B, B'$ che compare nella formula per il cambiamento di base ( che talvolta si suole indicare con $M_B^(B') (id_V)$ ) non è la matrice identica in generale.