Matrice associata all applicazione lineare

[steevee94]

Ciao a tutti. Sono nuovo e chiedo quindi scusa se non ho rispettato qualche punto del regolamento.
Volevo chiedervi una mano con un esercizio in preparazione dell' esame. Ci sto provando da ieri pomeriggio ma niente.
Allora:
Sia data applicazione lineare La: R3 -> R4 definita da LaX = AX, con


A= $((1,0,-2),(2,2,0),(3,-1,-8),(-1,1,4))$


a) Si determini Ker La ortogonale
b) Siano date B=((1,-1,-1)(0,1,-1)(0,0,1)), e C=((1,1,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,1)(0,0,0,1)) basi rispettivamente di R3 e R4. Si determini la matrice Mbc(La) associata all' applicazione La rispetto alle basi B e C.

Il sottopunto a) mi sembra abbastanza semplice visto che basterebbe trovare una base ortogonale e trovarne il nucleo (forse sbaglio i calcoli), ma il sottopunto b) non saprei nemmeno da dove partire nonostante io abbia cercato tanto su internet e letto tutto il libro di teoria.
Grazie in anticipo.

[Magma1]

Essendo

$ker(f):={v in RR^3 : qquad Av=bar(0) in RR^4}$

si ha che la ricerca della base del $ker$ equivale alla risoluzione di un sistema lineare omogeneo:

$ ((1,0,-2),(2,2,0),(3,-1,-8),(-1,1,4)) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0),(0))$

quindi una base del $ker(f)$ è …

[steevee94]

Si si quello lo so. Infatti era un sottopunto dell' esercizio che avevo fatto bene. Ker= (2,-2,1) e ha dimensione 1.
Ma la mia domanda era sul Ker⟂, che non saprei trovare. Il risultato dice che ha dim=2.

[Magma1]

Posto $w:=((2),(-2),(1))$ devi trovare

${w}^(_|_):={ s in RR^3 : qquad =0}$

[Bokonon]

"Magma":Posto $w:=((2),(-2),(1))$ devi trovare

${w}^(_|_):={ s in RR^3 : qquad =0}$

Se il nucleo ha dimensione 1, è una retta...non esiste una base ortogonale dello spazio nullo.
Io credo che Steeve abbia riportato male il problema. Può darsi che gli abbiano chiesto una base ortonormale dello spazio nullo sinistro, ovvero $Ker(A^T)$, oppure che abbia scritto la matrice mettendo i dati per colonna invece che per riga quindi andava trasposta sin dall'inizio.
Anche la seconda domanda si apre a interpretazioni...


O forse hai ragione e tu e gli chiedono semplicemente di individuare lo spazio ortogonale allo spazio nullo, ovvero lo spazio delle righe (1,0,-2) (2,2,0), bah

[Magma1]

"Bokonon":Se il nucleo ha dimensione 1, è una retta...non esiste una base ortogonale dello spazio nullo.
Io credo che Steeve abbia riportato male il problema.

La traccia è scritta un po' male, o almeno io non l'ho capita. Ma se la richiesta è di trovare il sottospazio ortogonale a $w$ allora è giusto; infatti dato $v in RR^n$ allora $dim({v}^(_|_))=n-1$.

[steevee94]

Allora ragazzi. Ho ricontrollato il testo è vi assicuro che è scritto bene. Anche la matrice è giusta quindi non va trasposta. Il testo è identico a quello dell’esercito ed è un esercizio dell’esame di 3 anni fa.

[Magma1]

"steevee94":Allora ragazzi. Ho ricontrollato il testo è vi assicuro che è scritto bene.

La traccia è "si determini una base del $Ker(L_A)$ ortogonale"? Allora la soluzione è data da tutti i vettori mutuamente ortogonali che soddisfano il sistema lineare omogeneo $Av=bar(0), qquad v in RR^3, bar(0) in RR^4$.

"steevee94":b) Siano date

$mathcalB={((1),(-1),(-1));((0),(1),(-1)),((0),(0),(1))}$

$mathcalC={((1),(1),(0),(0)),((0),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(1)),((0),(0),(0),(1))} $

basi rispettivamente di $RR^3$ e $RR^4$.
Si determini la matrice $M_(BC)(La)$ associata all' applicazione $L_A$ rispetto alle basi $B$ e $C$.

La matrice $M_(BC)(L_A)$ ha per colonna le componenti delle immagini dei vettori $b in mathcalB$ rispetto alla base $mathcalC$, ovvero si hanno in colonna

$[L_A(b_i)]_(mathcalC), qquad i=1,2,3$

e.g. si calcola preliminarmente

$L_A(b_1)$

quindi si calcolano le componenti dell'immagine appena trovata

$L_A(b_1)=alpha c_1+ betac_2+gammac_2+deltac_3$

dove le incognite sono proprio $alpha, beta, gamma, delta$, e il vettore $((alpha),(beta),(gamma),(delta))$ sarà la prima colonna della matrice cercata. Buon proseguimento

[steevee94]

Grazie mille. Ora il procedimento mi è chiaro. Mi servirebbe solo una piccola mano per quanto riguarda i calcoli e poi ho finito di rompervi .

Per calcolare LA(b1), ma basta risolvere:

$((1,0,-2),(2,2,0),(3,-1,-8),(-1,1,4))$ $((1),(-1),(-1),(0))$

dove la seconda matrice corrisponde alle componenti di b1

giusto ?

Forse mi risulta un po complicato visto che non si tratta di un endomorfismo e non abbiamo fatto esercizi simili.

[Magma1]

La moltiplicazione riga per colonna è ammessa solo se si hanno due matrici

$(nxxm)(mxxp)$

ovvero la matrice di sinistra ha tante colonne quante sono le righe della matrice di destra. Quindi quel prodotto non è valido; inoltre vorrei farti notare che hai mancato di coerenza: hai scritto $L_A(b_1), qquad b_1 in mathcalBsube RR^3$ ma poi hai considerato un vettore di $RR^4$.

"steevee94":Mi servirebbe solo una piccola mano per quanto riguarda i calcoli e poi ho finito di rompervi .

Il forum è nato apposta, però è previsto anche che il richiedente posti una bozza di soluzione Quindi se ci sono problemi basta che posti i calcoli, scrivendo le formule - tutte - racchiuse tra i dollaroni:

$ L_A(b_1) $