Matrice associata al generico endomorfismo nulla
sono incappato in un esercizio del genere in cui mi si chiede di calcolare il generico endomorfismo che soddisfa certe condizioni
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$ determinare e studiare il generico endomorfismo $f:V->V$ tale che $U∩V⊆Kerf$ e $f^2=0$
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
dunque per scrivermi la matrice associata al generico endomorfismo devo rispettare le condizioni che mi sono state date ovvero il sottospazio $U∩V$ deve essere contenuto nel nucleo di $f$.
questo vuol dire che calcolata una base di $U∩V$ l'immagine degli elementi della base devono essere pari a zero.ovvero se $B={v1,v2,v3}$ (ho già calcolato che $U∩V$ ha dim pari a $3$) è una base di $U∩V$,si ha che
$f(v1)=0$
$f(v2)=0$
$f(v3)=0$
manca da soddisfare l'altra condizione.in tutto deve avere quattro immagini perché il sottospazio vettoriale $V$ (dopo calcoli effettuati) ha dimensione pari a $4$.
dire che $f^2=0$ vuol dire che $f(f(V))=0$ ovvero $f(V)∈V$ cioè $f(V)=((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ in altre parole deve essere un elemento generato da $V$ quindi l'altra condizione sarebbe proprio $f((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))=0$
ma in questo modo ottengo la matrice associata all'applicazione lineare nulla.è possibile una cosa del genere?forse avrò commesso qualche errore nel ragionamento
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$ determinare e studiare il generico endomorfismo $f:V->V$ tale che $U∩V⊆Kerf$ e $f^2=0$
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
dunque per scrivermi la matrice associata al generico endomorfismo devo rispettare le condizioni che mi sono state date ovvero il sottospazio $U∩V$ deve essere contenuto nel nucleo di $f$.
questo vuol dire che calcolata una base di $U∩V$ l'immagine degli elementi della base devono essere pari a zero.ovvero se $B={v1,v2,v3}$ (ho già calcolato che $U∩V$ ha dim pari a $3$) è una base di $U∩V$,si ha che
$f(v1)=0$
$f(v2)=0$
$f(v3)=0$
manca da soddisfare l'altra condizione.in tutto deve avere quattro immagini perché il sottospazio vettoriale $V$ (dopo calcoli effettuati) ha dimensione pari a $4$.
dire che $f^2=0$ vuol dire che $f(f(V))=0$ ovvero $f(V)∈V$ cioè $f(V)=((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ in altre parole deve essere un elemento generato da $V$ quindi l'altra condizione sarebbe proprio $f((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))=0$
ma in questo modo ottengo la matrice associata all'applicazione lineare nulla.è possibile una cosa del genere?forse avrò commesso qualche errore nel ragionamento
Risposte
"mazzy89":
sono incappato in un esercizio del genere in cui mi si chiede di calcolare il generico endomorfismo che soddisfa certe condizioni
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$ determinare e studiare il generico endomorfismo $f:V->V$ tale che $U∩V⊆Kerf$ e $f^2=0$
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
dunque per scrivermi la matrice associata al generico endomorfismo devo rispettare le condizioni che mi sono state date ovvero il sottospazio $U∩V$ deve essere contenuto nel nucleo di $f$.
questo vuol dire che calcolata una base di $U∩V$ l'immagine degli elementi della base devono essere pari a zero.ovvero se $B={v1,v2,v3}$ (ho già calcolato che $U∩V$ ha dim pari a $3$) è una base di $U∩V$,si ha che
$f(v1)=0$
$f(v2)=0$
$f(v3)=0$
manca da soddisfare l'altra condizione.in tutto deve avere quattro immagini perché il sottospazio vettoriale $V$ (dopo calcoli effettuati) ha dimensione pari a $4$.
dire che $f^2=0$ vuol dire che $f(f(V))=0$ ovvero $f(V)∈V$ cioè $f(V)=((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ in altre parole deve essere un elemento generato da $V$ quindi l'altra condizione sarebbe proprio $f((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))=0$
ma in questo modo ottengo la matrice associata all'applicazione lineare nulla.è possibile una cosa del genere?forse avrò commesso qualche errore nel ragionamento
Mi puoi esplicitare i vettori $v_1,v_2,v_3$?
Comunque se i calcoli sono svolti bene e mi fido. L'ultimo vettore non lo devi mandare nel vettore nullo, ma nel generico vettore combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$. Cioe $f((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3$
e perché mai questo? 
facendo le dovute sostituzioni si ottiene $f^2=0$ $f(f(V))=0$.al secondo membro c'è sempre zero.con quale ragionamento arrivi a quella conclusione?
facendo le dovute sostituzioni si ottiene $f^2=0$ $f(f(V))=0$.al secondo membro c'è sempre zero.con quale ragionamento arrivi a quella conclusione?
"mazzy89":
e perché mai questo?
Se alla matrice $((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ assegno il generico vettore $3x3$ del nucleo, applicando di nuovo $f$ trovo l'applicazione nulla.
Sopra hai scritto $f(f(V))=0$ questo vuol dire che $f(V)\inkerf$ e non $\inV$
Sono esercizi che vanno svolti con cautela, mi posti i vettori $v_1,v_2,v_3$ perchè mi riservo di verificare.
Il fatto che la matrice sopra scritta "vada" in un generico vettore del nucleo non vuol dire che va nel vettore nullo.
qui sono i vettori che formano una base di $UnnV$
$v_1=((2,-3,1),(-3,-2,0),(1,0,0))$,$v_2=((0,-1,0),(-1,0,1),(0,1,0))$,$v_3=((-1,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$
sto ragionando su quello che hai scritto te weblan per farmi convinto.in caso che non ho capito qualcosa torno a postare
inoltre c'è da correggere una cosa.la generica matrice che ho scritto appartiene a $V$ invece devo scrivere la generica matrice che appartiene a $UnnV$
$v_1=((2,-3,1),(-3,-2,0),(1,0,0))$,$v_2=((0,-1,0),(-1,0,1),(0,1,0))$,$v_3=((-1,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$
sto ragionando su quello che hai scritto te weblan per farmi convinto.in caso che non ho capito qualcosa torno a postare
inoltre c'è da correggere una cosa.la generica matrice che ho scritto appartiene a $V$ invece devo scrivere la generica matrice che appartiene a $UnnV$
"mazzy89":
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
Un chiarimento relatvo $A$ nell'ultima relazione che definisce $V$
Anche perche se tu dici $((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ $\inUnnV$ mi sembra strano che la somma degli elementi della prima riga $+$ l'elemento di posto $(2,3)$ non restituisce $0$ e quindi non può appartenere a $U$.
La matrice $A$ è pari ad $((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$
"mazzy89":
La matrice $A$ è pari ad $((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$
Ti ammiro che posti gli esercizi e risulti attivo, però ti chiedo la cortesia di mettere l'esercizio per intero.
"weblan":
[quote="mazzy89"]La matrice $A$ è pari ad $((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$
Ti ammiro che posti gli esercizi e risulti attivo, però ti chiedo la cortesia di mettere l'esercizio per intero.[/quote]
ti chiedo scusa.la prossima volta metterò l'esercizio per intero.
Bene, ho controllato i tuoi calcoli e tutto funziona. Come ti dicevo la generica matrice $((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ è la matrice di $V$ e non di $UnnV$. Anzi trova i generatori di tale spazio vettoriale assegnando a $b,d,a,c$ il valore $1$ e ai restanti $0$ ti renderai conto che questi 4 matrici sono una base di $V$ che estende la base di$U$. Se utilizzerai i valori che ti ho suggerito tenendo quell'ordine avrai che $h_1-3h_3=v_1$, $h_2+h_3=v_3$, $h_4+h_2=v_2$.
Ti ricordo che $h_1$ è la matrice corrispondente al valore $b=1$ e altri uguale a $0$ e così di seguito.
Ti ricordo che $h_1$ è la matrice corrispondente al valore $b=1$ e altri uguale a $0$ e così di seguito.
dunque ti ringrazio per avermi seguito per l'intero post e non avermi abbandonato.nei mie calcoli ho assegnato ad $a$ il valore $1$ e tutti gli altri 0.poi a $b$ il valore $1$ e tutti gli altri $0$ e così via.ho ottenuto così $4$ matrici linearmente indipendenti.in che senso queste quattro matrici estendono una base di $U$?perché poi i vettori $v_1,v_2,v_3$ sono generati da $V$?
Mi sono espresso male, non è giusto dire che si tratta di una base estesa, sarebbe tale quando la base di $V$ contiene i vettori della base di $UnnV$.
Non mi sorprende che i vettori della base di $UnnV$ sono generati dai vettori che costituiscono la base di $V$, osserva che $UnnV$ è un sottospazio di $V$ e quindi un sottoinsieme, in quanto tale ogni vettore è combinazione lineare dei vettori della base di $V$.
Spero che sia stato chiaro in quest'ultime precisazioni.
Credo che l'assegnazione precedente sul generico vettore di $V$ ti ha fatto riflettere e sia una buona definizione di endomorfismo generico che soddisfa alle condizioni richieste.
Però si potrebbe procedere in questo modo:
1) $UnnV$ è un sottospazio di dimensione $3$ e $v_1,v_2,v_3$ risulta essere una base.
2) $V$ ha dimensione 4.
Ora cerca un vettore di $V$ che non sia combinazione di $v_1,v_2,v_3$ e chiamalo $v_4$
Costruisci la seguente applicazione:
$f(v_1)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$f(v_2)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$f(v_3)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$f(\lambdav_4)=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3$
Anche questo è un generico endomorfismo, con $dimKerf=3$ e $dimImf=1$ e soddisfa alle richieste.
Sono curioso di conoscere il vettore $v_4$.
Non mi sorprende che i vettori della base di $UnnV$ sono generati dai vettori che costituiscono la base di $V$, osserva che $UnnV$ è un sottospazio di $V$ e quindi un sottoinsieme, in quanto tale ogni vettore è combinazione lineare dei vettori della base di $V$.
Spero che sia stato chiaro in quest'ultime precisazioni.
Credo che l'assegnazione precedente sul generico vettore di $V$ ti ha fatto riflettere e sia una buona definizione di endomorfismo generico che soddisfa alle condizioni richieste.
Però si potrebbe procedere in questo modo:
1) $UnnV$ è un sottospazio di dimensione $3$ e $v_1,v_2,v_3$ risulta essere una base.
2) $V$ ha dimensione 4.
Ora cerca un vettore di $V$ che non sia combinazione di $v_1,v_2,v_3$ e chiamalo $v_4$
Costruisci la seguente applicazione:
$f(v_1)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$f(v_2)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$f(v_3)=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
$f(\lambdav_4)=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3$
Anche questo è un generico endomorfismo, con $dimKerf=3$ e $dimImf=1$ e soddisfa alle richieste.
Sono curioso di conoscere il vettore $v_4$.
riflettendo su quello che hai scritto mi viene un dubbio.non è il contrario ovvero che $V$ è un sottospazio di $UnnV$?
"mazzy89":
riflettendo su quello che hai scritto mi viene un dubbio.non è il contrario ovvero che $V$ è un sottospazio di $UnnV$?
Ma come------, posti l'esercizio, ometti di scrivere la matrice $A$ e poi dici che $V$ è un sottospazio di $UnnV$, conclusione sei uno a cui piace scherzare.
Teniamo conto che $U$ e $V$ sono sottospazi vettoriali a loro volta "immersi" in uno spazio vettoriale di $dim=9$ ovvero $RR^(3,3)$
no no quale scherzare.forse nella mia testa lo sto intendendo in maniera diversa. $V$ è il sottospazio di $RR^(3,3)$ che soddisfa le condizioni $X=X^t$,$trX=0$,$tr(XA)=0$ mentre $UnnV$ è il sottospazio che soddisfa le suddette condizioni più $a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0$.quindi da come lo intendo io $UnnV$ contiene $V$.poi bo non saprei.
"mazzy89":
sono incappato in un esercizio del genere in cui mi si chiede di calcolare il generico endomorfismo che soddisfa certe condizioni
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$
Questo lo hai sritto in precedenza.
In $UnnV$ ci sono i vettori matrice che soddisfano contemporaneamente alle condizioni di $U$ e a quelle di $V$, quindi in generale
$UnnV$ è un sottospazio sia di $U$ che di $V$, quest'enunciato è una delle dimostrazioni classiche in algebra lineare.
appunto.quindi $UnnV:{(trX=0),(X=X^t),(tr(XA)=0),(a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0):}$ mentre $V:{(trX=0),(X=X^t),(tr(XA)=0):}$
quindi $V$ risulta essere contenuto in $UnnV$.tu però mi dici di no.non ci sto a capire nulla.sarà il caldo,la stanchezza ma non ci sto a capire più nulla.
be allora se risulta essere una delle dimostrazioni dell'algebra conviene che vada ad aprire il libro e vedere meglio così da risolvere questi dubbi
quindi $V$ risulta essere contenuto in $UnnV$.tu però mi dici di no.non ci sto a capire nulla.sarà il caldo,la stanchezza ma non ci sto a capire più nulla.
be allora se risulta essere una delle dimostrazioni dell'algebra conviene che vada ad aprire il libro e vedere meglio così da risolvere questi dubbi
"mazzy89":
appunto.quindi $UnnV:{(trX=0),(X=X^t),(tr(XA)=0),(a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0):}$ mentre $V:{(trX=0),(X=X^t),(tr(XA)=0):}$
quindi $V$ risulta essere contenuto in $UnnV$.tu però mi dici di no.non ci sto a capire nulla.sarà il caldo,la stanchezza ma non ci sto a capire più nulla.
Tu ti confondi ad interpretare
ti faccio un esempio ci sono due gruppi $A$ e $B$
Nel gruppo $A$ ci sono $100$ amici
Nel gruppo $B$ ci sono $10$ amici
Ti chiedo dove ci sarà speranza di trovare più soluzioni nei due gruppi?
"mazzy89":
appunto.quindi $UnnV:{(trX=0),(X=X^t),(tr(XA)=0),(a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0):}$ mentre $V:{(trX=0),(X=X^t),(tr(XA)=0):}$
quindi $V$ risulta essere contenuto in $UnnV$.tu però mi dici di no.non ci sto a capire nulla.sarà il caldo,la stanchezza ma non ci sto a capire più nulla.
be allora se risulta essere una delle dimostrazioni dell'algebra conviene che vada ad aprire il libro e vedere meglio così da risolvere questi dubbi
$A:{(x+y+z=0),(x-y+z=0),(z=0):}$
mentre
$B:{(x+y+z=0),(x-y+z=0):}$
Ogni soluzione del primo sistema, a dire il vero solo quella nulla, è soluzione del secondo sistema. In generale una soluzione del secondo sistema non è soluzione del primo sistema.
ah ok quindi $B$ contiene $A$.ho capito.è stato un ottimo esempio chiarificatore quello che mi hai esposto
ho scartabellato un po' i miei appunti di algebra lineare ed ho trovato l'enunciato e la dimostrazione di ciò che hai detto te weblan ovvero che $UnnV$ è un sottospazio di $V$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo