Matrice associata al generico endomorfismo nulla
sono incappato in un esercizio del genere in cui mi si chiede di calcolare il generico endomorfismo che soddisfa certe condizioni
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$ determinare e studiare il generico endomorfismo $f:V->V$ tale che $U∩V⊆Kerf$ e $f^2=0$
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
dunque per scrivermi la matrice associata al generico endomorfismo devo rispettare le condizioni che mi sono state date ovvero il sottospazio $U∩V$ deve essere contenuto nel nucleo di $f$.
questo vuol dire che calcolata una base di $U∩V$ l'immagine degli elementi della base devono essere pari a zero.ovvero se $B={v1,v2,v3}$ (ho già calcolato che $U∩V$ ha dim pari a $3$) è una base di $U∩V$,si ha che
$f(v1)=0$
$f(v2)=0$
$f(v3)=0$
manca da soddisfare l'altra condizione.in tutto deve avere quattro immagini perché il sottospazio vettoriale $V$ (dopo calcoli effettuati) ha dimensione pari a $4$.
dire che $f^2=0$ vuol dire che $f(f(V))=0$ ovvero $f(V)∈V$ cioè $f(V)=((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ in altre parole deve essere un elemento generato da $V$ quindi l'altra condizione sarebbe proprio $f((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))=0$
ma in questo modo ottengo la matrice associata all'applicazione lineare nulla.è possibile una cosa del genere?forse avrò commesso qualche errore nel ragionamento
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$ determinare e studiare il generico endomorfismo $f:V->V$ tale che $U∩V⊆Kerf$ e $f^2=0$
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
dunque per scrivermi la matrice associata al generico endomorfismo devo rispettare le condizioni che mi sono state date ovvero il sottospazio $U∩V$ deve essere contenuto nel nucleo di $f$.
questo vuol dire che calcolata una base di $U∩V$ l'immagine degli elementi della base devono essere pari a zero.ovvero se $B={v1,v2,v3}$ (ho già calcolato che $U∩V$ ha dim pari a $3$) è una base di $U∩V$,si ha che
$f(v1)=0$
$f(v2)=0$
$f(v3)=0$
manca da soddisfare l'altra condizione.in tutto deve avere quattro immagini perché il sottospazio vettoriale $V$ (dopo calcoli effettuati) ha dimensione pari a $4$.
dire che $f^2=0$ vuol dire che $f(f(V))=0$ ovvero $f(V)∈V$ cioè $f(V)=((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))$ in altre parole deve essere un elemento generato da $V$ quindi l'altra condizione sarebbe proprio $f((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))=0$
ma in questo modo ottengo la matrice associata all'applicazione lineare nulla.è possibile una cosa del genere?forse avrò commesso qualche errore nel ragionamento
Risposte
purtroppo però seppure ho capito la tua spiegazione non ho capito la condizione $f^2=0$.ripartiamo da capo.dire che $f^2=0$ equivale a dire che $f(f(V)=0)$ ovvero che $f(V)inKerf$ cioè $f(V)$ è esprimibile come combinazione lineare dei vettori che generano il nucleo di $f$.poi?mi blocco.quello $0$ messo a secondo membro mi blocca
"mazzy89":
purtroppo però seppure ho capito la tua spiegazione non ho capito la condizione $f^2=0$.ripartiamo da capo.dire che $f^2=0$ equivale a dire che $f(f(V)=0)$ ovvero che $f(V)inKerf$ cioè $f(V)$ è esprimibile come combinazione lineare dei vettori che generano il nucleo di $f$.poi?mi blocco.quello $0$ messo a secondo membro mi blocca
Quello $0$ bisogna interpretarlo bene, insomma
$0:V\toV$ con $0(((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d)))$=$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
per ogni matrice di $V$
La funzione $fof=f^2$:$V\toV$ coincide con $0:V\toV$ con $0(((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d)))$=$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$, in questo senso si dice $f^2=0$, in altre parole $0(((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d)))$=$f(f(((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d))))$=$f^2(((2b-d,a,b),(a,-2b,c),(b,c,d)))$
Lo $0$ è l'applicazione nulla.
A questo punto sembra chiaro dalla richiesta dell'esercizio, si vuole un endomorfismo di $f:V\toV$ con $UnnVsubeKerf$
A) $UnnVsubKerf$, allora $UnnV$ è un sottospazio proprio di dimensione $3$ di $Kerf$ e questo vuol dire che $dimKerf=4$, quest'ultimo fatto implica che $kerf=V$ e l'endomorfismo $f$ che si ottiene è quello $0:V\toV$ che soddisfa alla condizione $f^2=0$ in maniera evidente.
B) $UnnV=kerf$, allora $Kerf$ ha dimensione $3$ e $V$ ha dimensione $4$. A questo punto si considerano i $3$ vettori della base di $UnnV$ e si mandano nel vettore nullo, successivamente alla base di $UnnV$ si aggiunge un vettore $v_4$ di $V$ per completarla ad ud una base di $V$ stessa e a quest'ultimo vettore si fa corrispondere un generico vettore di $Kerf=UnnV$ (la combinazione lineare dei vettori della base). Anche in questo caso abbiamo costruito un endomorfismo che soddisfa alle richieste, ripeto mandare il vettore $v_4$ nel generico vettore del nucleo mi permette di verificare la condizione di ottenere l'endomorfismo nullo quando riapplico la $f$.
OSSERVAZIONE: Si dice di trovare un endomorfismo generico, mi aspetto di trovare un'applicazione tramite una legge generale che ad ogni vettore del dominio associa uno e un solo vettore del codominio. Questo generico endomorfismo deve in un certo senso rappresentare tutti i possibili endomorfismi tra gli spazi vettoriali in questione.
Ora, in generale, sappiamo che si fissa una base in uno spazio vettoriale e ai vettori di tale base si associano dei vettori in maniera arbitraria dello spazio vettoriale codominio, esiste un'unica applicazione lineare che verifica le condizioni iniziali. In generale cambiando base posso ottenere la stessa applicazione lineare.
In questo esercizio è stato dato un metodo per trovare l'endomorfismo, però credo che trovare la formula generica sia poco agevole. IOra se il nucleo ha dimensioni $4$ la questione è semplice perchè $f=0$. Se il nucleo ha dimensione $3$, la base di $V$ si può ottenere aggiungendo un vettore a quella della nucleo e questa scelta può essere fatta in infiniti modi, ogni scelta determina un endomorfismo e scelte distinte potrebbero generare endomorfismi uguali. Proprio su questo punto mi sorge il dubbio di come fare a definire il generico endomorfismo e cosa vuol dire definire il generico endomorfismo.
Prego i lettori di intervenire nel post per discutere la questione.
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