Matrice associata ad un'applicazione lineare.
Buongiorno, ho qualche dubbio sulla dimostrazione del teorema inerente al titolo.
Enunciato:
Per ogni applicazione lineare $f:K^m to K^n$ vi è un'unica matrice $A in M_(n,m)(K) \:\ f=L_A$. Inoltre vale $A=(f(e_1),...,f(e_n))$ con $e_1,...,e_n in K^m$ base canonica.
Per il seguito:
Definizione:
Sia $A in M_(n,m)(K)$ si definisce
Dimostrazione:
1)Abbiamo già notato che per ogni matrice $A in M_(n,m)(K) $ i vettori $Ae_i$ coincidono con la colonna di i-esima di $A$, quindi $A=(L_A(e_1),...,L_A(e_m))$ e questo prova che $A$ è univocamente determinata da $L_A.$
2)Sia $f:K^m to K^n$ e consideriamo la matrice $A$ che ha come colonne i valori di $f$ nella base canonica di $K^m$ cioè
Sia $x=(x_1,...x_m)^T=x_1e_1+...+x_me_m in K^m$ si ha
$L_A(x)=Ax=x_1A^1+...+x_mA^m=x_1f(e_1)+...+x_mf(e_m)=f(x_1e_1+...+x_me_m)=f(x).$
Fine.
Non ho difficolta algebriche, ma di capirne il senso:
Nella seconda parte 2) perché si considera quella specifica matrice ? solo per scopo dimostrativo ? invece nella prima parte 1), quando si dice che $L_A$ definisce univocamente la matrice $A$, ma $L_A$ ha bisogno della matrice $A$, quindi come faccio definire la matrice $A$ ?
Ciao a presto.
Enunciato:
Per ogni applicazione lineare $f:K^m to K^n$ vi è un'unica matrice $A in M_(n,m)(K) \:\ f=L_A$. Inoltre vale $A=(f(e_1),...,f(e_n))$ con $e_1,...,e_n in K^m$ base canonica.
Per il seguito:
Definizione:
Sia $A in M_(n,m)(K)$ si definisce
$L_A:K^m to K^n, \ quad L_A(x)=Ax.$
Dimostrazione:
1)Abbiamo già notato che per ogni matrice $A in M_(n,m)(K) $ i vettori $Ae_i$ coincidono con la colonna di i-esima di $A$, quindi $A=(L_A(e_1),...,L_A(e_m))$ e questo prova che $A$ è univocamente determinata da $L_A.$
2)Sia $f:K^m to K^n$ e consideriamo la matrice $A$ che ha come colonne i valori di $f$ nella base canonica di $K^m$ cioè
$A=(A^1,...,A^m), A^i=f(e_i).$
Sia $x=(x_1,...x_m)^T=x_1e_1+...+x_me_m in K^m$ si ha
$L_A(x)=Ax=x_1A^1+...+x_mA^m=x_1f(e_1)+...+x_mf(e_m)=f(x_1e_1+...+x_me_m)=f(x).$
Fine.
Non ho difficolta algebriche, ma di capirne il senso:
Nella seconda parte 2) perché si considera quella specifica matrice ? solo per scopo dimostrativo ? invece nella prima parte 1), quando si dice che $L_A$ definisce univocamente la matrice $A$, ma $L_A$ ha bisogno della matrice $A$, quindi come faccio definire la matrice $A$ ?
Ciao a presto.
Risposte
Allora, qua hai di fronte un teorema di esistenza e unicità di tale matrice.
Tu parti semplicemente avendo la tua mappa lineare $f$.
Il primo punto (unicità) puoi provare a pensarlo così. Supponi per assurdo che esistano due matrici $A$ e $B$ tale che $f=L_A$ ma anche $f=L_B$. Ora se prendi un vettore della base canonica hai che che $f(e_j)=Ae_j=A^j$ ma anche $f(e_j)=Be_j=B^j$. Ma allora $A=B$.
Il secondo punto è l'esistenza. Quale miglior modo di mostrare l'esistenza di un oggetto se non far vedere un esempio esplicito di tale oggetto? Sul perchè si prenda tale matrice non puoi saprlo a priori che vada bene, ti fidi e provi con quella. Funziona? Fa quello che deve fare? Sì lo fa, quindi una matrice esiste. Bene, ora per il punto 1 sai che quella è l'unica matrice che può fare ciò che le stai chiedendo di fare. Ottimo, abbiamo trovato pure esplicitamente la matrice, che esiste e sarà unica.
Tu parti semplicemente avendo la tua mappa lineare $f$.
Il primo punto (unicità) puoi provare a pensarlo così. Supponi per assurdo che esistano due matrici $A$ e $B$ tale che $f=L_A$ ma anche $f=L_B$. Ora se prendi un vettore della base canonica hai che che $f(e_j)=Ae_j=A^j$ ma anche $f(e_j)=Be_j=B^j$. Ma allora $A=B$.
Il secondo punto è l'esistenza. Quale miglior modo di mostrare l'esistenza di un oggetto se non far vedere un esempio esplicito di tale oggetto? Sul perchè si prenda tale matrice non puoi saprlo a priori che vada bene, ti fidi e provi con quella. Funziona? Fa quello che deve fare? Sì lo fa, quindi una matrice esiste. Bene, ora per il punto 1 sai che quella è l'unica matrice che può fare ciò che le stai chiedendo di fare. Ottimo, abbiamo trovato pure esplicitamente la matrice, che esiste e sarà unica.
Ciao, per il primo punto, non ho dubbi sul fatto che la matrice sia univocamente determinata, essendo $L_A$ un'applicazione, quindi ben posta.
Non riesco a formalizzare che $L_A$ determini $A$, forse è una domanda sciocca, ma non riesco a capire il perché...
Invece per
Non riesco a formalizzare che $L_A$ determini $A$, forse è una domanda sciocca, ma non riesco a capire il perché...
Invece per
"LoreT314":
Il secondo punto è l'esistenza. Quale miglior modo di mostrare l'esistenza di un oggetto se non far vedere un esempio esplicito di tale oggetto? Sul perchè si prenda tale matrice non puoi saprlo a priori che vada bene, ti fidi e provi con quella. Funziona? Fa quello che deve fare? Sì lo fa, quindi una matrice esiste. Bene, ora per il punto 1 sai che quella è l'unica matrice che può fare ciò che le stai chiedendo di fare. Ottimo, abbiamo trovato pure esplicitamente la matrice, che esiste e sarà unica.
Se sai come $L_A$ agisce su un vettore allora puoi costruire $A$ valutando $L_A$ nei vettori della base canonica.
Se ti confonde pensala così. Tu hai $f$. Supponi ora che $f$ sia rappresentabile da una matrice (non sai ancora se puoi farlo, ma a questo serve il punto 2). Ora vuoi capire come questa matrice deve essere fatta. E scopri che la matrice deve necessariamente essere della forma $(f(e_1)...f(e_m))$. Ed esiste solo una matrice fatta così.
"LoreT314":
Se sai come $L_A$ agisce su un vettore allora puoi costruire $A$ valutando $L_A$ nei vettori della base canonica.
Perfetto, grazie
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