Matrice associata ad una trasformazione lineare

[andrea.9111]

Ho svolto diversi esercizi sul calcolo della matrice associata ad un'applicazione e sull'effettivo calcolo non ho riscontrato problemi, mi sorgono dei dubbi però sul fatto che, ottenuta la matrice non capisco come utilizzarla adeguatamente.
Mi spiego meglio: siano B={b1, b2, b3} e C={c1, c2} due basi rispettivamente del sottospazio V e W. Sia T: R3 --> R2 una trasformazione lineare del tipo T(x, y, z) = (...).
Nell'ottenere la matrice che rappresenta la trasformazione non ho problemi, il fatto è che non capisco per quale motivo, se prendo un generico vettore v appartenente a V espresso rispetto alla base B, e calcolo il prodotto y=Av, il vettore y non è lo stesso che otterrei calcolando T(v).
Potete aiutarmi? Spero di essere stato abbastanza chiaro.

Grazie in anticipo,
Ciao

[mistake89]

Perché la matrice associata ad una applicazione lineare lavora con le componenti e non con le immagini. Quelle che ottieni così facendo sono le componenti rispetto a $C$ del vettore immagine.