Matrice associata ad una funzione lineare
ciao , devo fare questo esercizio in vista dell'esame di algebra lineare .....
il problema è che non so come utilizzare le informazioni
$f(e1)$, $f(e2)$ ......
mi potete aiutare? grazie mille anticipatamente.
Sia $E = (e1 ; e2 ; e3 )$ la base canonica di $R^3 $e sia f la funzione lineare che
soddisfa alle seguenti proprietà:
$f(e1) =e1 + 2e3$
$f(e2) = 2e1 -e3$
$f(e3) = e1 + 2e3$
Siano A e B le seguenti basi di $R^3$
$A = [a1 = e3 ; a2 = -e2 ; a3 = e1 ]$
$B = [b1 = -e1 +e3 ; b2 = e2 ; b3 = e1 ]$
1) Determinare la matrice FA associata alla funzione f rispetto alla base A di
partenza ed alla base A di arrivo.
2) Determinare la matrice FB associata alla funzione f rispetto alla base B di
partenza ed alla base B di arrivo.
3) Determinare una matrice invertibile S che renda simili le matrici FA ed FB,
ovvero tale che: $S^(-1)(FA )S = FB$
il problema è che non so come utilizzare le informazioni
$f(e1)$, $f(e2)$ ......
mi potete aiutare? grazie mille anticipatamente.
Sia $E = (e1 ; e2 ; e3 )$ la base canonica di $R^3 $e sia f la funzione lineare che
soddisfa alle seguenti proprietà:
$f(e1) =e1 + 2e3$
$f(e2) = 2e1 -e3$
$f(e3) = e1 + 2e3$
Siano A e B le seguenti basi di $R^3$
$A = [a1 = e3 ; a2 = -e2 ; a3 = e1 ]$
$B = [b1 = -e1 +e3 ; b2 = e2 ; b3 = e1 ]$
1) Determinare la matrice FA associata alla funzione f rispetto alla base A di
partenza ed alla base A di arrivo.
2) Determinare la matrice FB associata alla funzione f rispetto alla base B di
partenza ed alla base B di arrivo.
3) Determinare una matrice invertibile S che renda simili le matrici FA ed FB,
ovvero tale che: $S^(-1)(FA )S = FB$
Risposte
Un po' più lungo no? 
Antimius, una bella gatta da pelare!
Te ne accorgerai!
Antimius, una bella gatta da pelare!
Te ne accorgerai!
Nota che avendo quelle tre espressioni, puoi scrivere la matrice associata all'applicazione lineare nella base canonica. Quindi ti rimane da usare la matrice di cambiamento di base. Se sai fare questo, sai rispondere anche alla terza domanda, perché la matrice $S$ non è altro che la matrice di cambiamento dalla base $B$ alla base $A$.
ciao, grazie di avermi risposto...io dovrei cercare di scrivere $f(e)$, giusto?
come si scrive in questo caso la matrice associata all'applicazione lineare?
come si scrive in questo caso la matrice associata all'applicazione lineare?
Cosa intendi con [tex]$f(e)$[/tex]?
Comunque, io chiamo [tex]$M_{w,v}(f)$[/tex] la matrice associata all'applicazione lineare [tex]$f:V \to W$[/tex] rispetto alle basi [tex]$v$[/tex] di [tex]$V$[/tex] e [tex]$w$[/tex] di [tex]$W$[/tex].
Ora prendiamo il caso [tex]$V=W$[/tex], che è quello che ci serve. Se [tex]$f=id_V$[/tex], la matrice è quella di cambiamento di base da [tex]$w$[/tex] a [tex]$v$[/tex].
Hai presente la formula [tex]$M_{v,v}(f)=M_{v,w}(id_V)M_{w,w}(f)M_{w,v}(id_V)$[/tex]?
Dai, ora ti ho praticamente detto tutto quel che ti serve! Prova.
@Speculor: in che senso?
Comunque, io chiamo [tex]$M_{w,v}(f)$[/tex] la matrice associata all'applicazione lineare [tex]$f:V \to W$[/tex] rispetto alle basi [tex]$v$[/tex] di [tex]$V$[/tex] e [tex]$w$[/tex] di [tex]$W$[/tex].
Ora prendiamo il caso [tex]$V=W$[/tex], che è quello che ci serve. Se [tex]$f=id_V$[/tex], la matrice è quella di cambiamento di base da [tex]$w$[/tex] a [tex]$v$[/tex].
Hai presente la formula [tex]$M_{v,v}(f)=M_{v,w}(id_V)M_{w,w}(f)M_{w,v}(id_V)$[/tex]?
Dai, ora ti ho praticamente detto tutto quel che ti serve! Prova.
@Speculor: in che senso?
ciao, è che proprio non riesco a capire...
avevo pensato di calcolare $f(e1)= t[1,00]+2t[001]$
e così anche per $f(e2)$ e $f(e3)$ , poi mettere $f(e1), f(e2), f(e3) $ in una unical matrice....per quanto riguarda il cambianeto di base (base di partenza , base di arrivo) il mio prof usa degli schemi ma non riesco a capirli....ad esempio come si fa a capire che $S $è la matrice cambiamentoi di base dalla base$ B$ alla base $A$ ? grazie mille ancora
avevo pensato di calcolare $f(e1)= t[1,00]+2t[001]$
e così anche per $f(e2)$ e $f(e3)$ , poi mettere $f(e1), f(e2), f(e3) $ in una unical matrice....per quanto riguarda il cambianeto di base (base di partenza , base di arrivo) il mio prof usa degli schemi ma non riesco a capirli....ad esempio come si fa a capire che $S $è la matrice cambiamentoi di base dalla base$ B$ alla base $A$ ? grazie mille ancora
$T_E=((1,2,1),(0,0,0),(2,-1,2))$ matrice della trasformazione lineare rispetto alla base $E$.
grazie mille !
come faccio a fare il punto
Determinare la matrice FA associata alla funzione f rispetto alla base A di
partenza ed alla base A di arrivo.
non mi riesco a reggolare perchè non è un semplice cambiamento di base...c'è una base di arrivo ed una di partenza...il mio prof di solito si regola con degli schemi che fa alla lavagna . ma io non li ho capiti...grazie ancora
come faccio a fare il punto
Determinare la matrice FA associata alla funzione f rispetto alla base A di
partenza ed alla base A di arrivo.
non mi riesco a reggolare perchè non è un semplice cambiamento di base...c'è una base di arrivo ed una di partenza...il mio prof di solito si regola con degli schemi che fa alla lavagna . ma io non li ho capiti...grazie ancora
L'importante è che la base sia la stessa.
$M_(EtoA)=((0,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))$ matrice di cambiamento di base dalla base $E$ alla base $A$.
Ora $T_A=M_(EtoA)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$.
$M_(EtoA)=((0,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))$ matrice di cambiamento di base dalla base $E$ alla base $A$.
Ora $T_A=M_(EtoA)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$.
ciao, ho capito il fatto che devo scrivere la matrice rispetto alla base $e$, ma non ho capito come fare gli altri punti ...dopo aver trovato la matrice cambiamento di abse dalla base $E $ alla base $A $ come devo procedere? grazie mille
Pensavo fosse sufficientemente chiaro che il primo punto lo risolvi con la formula che ho appena scritto.
ciao, il fatto è che non riesco a capire il procedimento per fare il primo punto...ho riflettuto tutto oggi ma non ho capito come devo fare
ho letto quello ke hai scritto ma non l'ho capito..me lo potresti spiegare a parole come devo fare?
tra qualche settimana ho l'esame di algebra e sono disperata..grazie mille ancora
ho letto quello ke hai scritto ma non l'ho capito..me lo potresti spiegare a parole come devo fare?
tra qualche settimana ho l'esame di algebra e sono disperata..grazie mille ancora
$T_E=((1,2,1),(0,0,0),(2,-1,2))$
$M_(EtoA)=((0,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))$
$T_A=M_(EtoA)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$
Se sai calcolare la matrice inversa $M_(EtoA)^(-1)$ di una matrice data $M_(EtoA)$ e se sai fare il prodotto associativo riga per colonna di
tre matrici $M_(EtoA)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$, il primo punto è già fatto (il secondo è molto simile). Non ho capito, non sai fare nemmeno queste operazioni?
$M_(EtoA)=((0,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))$
$T_A=M_(EtoA)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$
Se sai calcolare la matrice inversa $M_(EtoA)^(-1)$ di una matrice data $M_(EtoA)$ e se sai fare il prodotto associativo riga per colonna di
tre matrici $M_(EtoA)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$, il primo punto è già fatto (il secondo è molto simile). Non ho capito, non sai fare nemmeno queste operazioni?
ciao, grazie di avermi risposto.
Quindi per fare il secondo punto dovrei calcolare la matrice da $E$ a $B$ e fare
$Tb=M(e_B) TeM^(-1)(e_b)$ giusto? e se invece l'esercizio mi chiedeva di calcolare la matrice rispetto alla base $a$ di partenza e $b$ di arrivo come dovevo fare? grazie ancora
Quindi per fare il secondo punto dovrei calcolare la matrice da $E$ a $B$ e fare
$Tb=M(e_B) TeM^(-1)(e_b)$ giusto? e se invece l'esercizio mi chiedeva di calcolare la matrice rispetto alla base $a$ di partenza e $b$ di arrivo come dovevo fare? grazie ancora
Ok. Il secondo caso difficilmente viene chiesto, in ogni modo $M_(EtoB)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$. Hai capito con quale logica si ricavano quelle matrici? Sai fare i conti che ti ho chiesto?
ciao, la matrice inversa come la moltiplicazione righe per colonne le so fare..
$M_(EtoB)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$. è la matrice assolciata da $a $ a $b$? se io invece facessi $M_(EtoA)*T_E*M_(EtoB)^(-1)$ è la matrice da $B$ ad $A$ giusto?
se è cosiì credo di avere capito un po' di più, però non ho capito perchè si applicano queste formule ( non sono uguali a quella per stabilire se due matrici sono simili? )
grazie ancora
$M_(EtoB)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$. è la matrice assolciata da $a $ a $b$? se io invece facessi $M_(EtoA)*T_E*M_(EtoB)^(-1)$ è la matrice da $B$ ad $A$ giusto?
se è cosiì credo di avere capito un po' di più, però non ho capito perchè si applicano queste formule ( non sono uguali a quella per stabilire se due matrici sono simili? )
grazie ancora
Ok. Si parla di matrici simili quando la trasformazione lineare è rappresentata utilizzando due basi diverse, ma una volta scelta la base, essa rimane la stessa in partenza e all'arrivo.
io non capito perchè $M_(EtoA)*T_E*M_(EtoB)^(-1)$ è la matrice dalla base di partenza $B$ ad $A$..come si ci arriva? in pratca quando io ho basi di partenza e di arrivo diverse devo sempre fare l'inversa di per indicare quella di partenza, giusto?
ciao, creo di avere capito meglio , ma la matrice da a a b non è $M_(EtoA)*T_E*M_(EtoB)^(-1)$. invece tu hai scritto che è $M_(EtoB)*T_E*M_(EtoA)^(-1)$., sbsglio qualcosa? grazie mille ancorA
Hai dato un'occhiata alla discussione in corso dal nome "matrice associata ad f mediante basi E ed F"? Dovrebbe interessarti.
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