Matrice associata ad una base
Ciao non capisco come si trova la matrice relativa alla base canonica $B=( 1,t,t^2)$ con $A:P_2$$(t)$$rarr$$P_2$$(t)$
tale che : $A(p)=tp(1)$
tale che : $A(p)=t^2p(0)$
Solitamente, nn ho problemi ad effettuare cambiamenti di base oppure a svolgere problemi relativi alle classi di similitudine, ma non capisco proprio come affrontare gli esercizzi con questa impostazione, potreste indicarmi la retta via... attualmente come libro di teoria seguo "L'Abate".. Grazie in anticipo
tale che : $A(p)=tp(1)$
tale che : $A(p)=t^2p(0)$
Solitamente, nn ho problemi ad effettuare cambiamenti di base oppure a svolgere problemi relativi alle classi di similitudine, ma non capisco proprio come affrontare gli esercizzi con questa impostazione, potreste indicarmi la retta via... attualmente come libro di teoria seguo "L'Abate".. Grazie in anticipo
Risposte
Sulle colonne devi scrivere le componenti dei vettori $A(1),A(t),A(t^2)$ rispetto alla base $B$.
$A(1) = t$
$A(t) = t$
$A(t^2) = t$
Quindi la matrice di $A$ rispetto alla base $B$ è:
$((0, 0 , 0),(1, 1 , 1),(0,0,0))$
Prova a completare tu...
$A(1) = t$
$A(t) = t$
$A(t^2) = t$
Quindi la matrice di $A$ rispetto alla base $B$ è:
$((0, 0 , 0),(1, 1 , 1),(0,0,0))$
Prova a completare tu...
uffa...veramente... anche con la soluzione sotto gli occhi nn capisco... $tp(1)$ che polinomio è...cioè mi sa che in questo caso il mio problema nn è tanto nell'associare ad $A$ una base $B$... non riesco proprio a capire come sia compsto $A$... anche nel secondo caso sono nel totale oblio.. sempre per il solito motivo.. non leggo bene l'uguaglianza....
p.s. se avete link utili sarò felicissimo di recuperare le lacune...
p.s. se avete link utili sarò felicissimo di recuperare le lacune...
Ad $A$ non devi associare una base (da quello che ho capito io, eh..). Devi associare ad $A$ la sua matrice rispetto alla base $B$.
La condizione $A(p) = t * p(1)$ ti dice che l'applicazione $A$ prende il polinomio $p(t)$ nello spazio $P_2(t)$ e lo trasforma nel polinomio $t * p(1)$, dove $p(1)$ non è nient'altro che il polinomio di partenza valutato in $1$.
La condizione $A(p) = t * p(1)$ ti dice che l'applicazione $A$ prende il polinomio $p(t)$ nello spazio $P_2(t)$ e lo trasforma nel polinomio $t * p(1)$, dove $p(1)$ non è nient'altro che il polinomio di partenza valutato in $1$.
Allora, intanto grazie.... ti scrivo come ho ragionato sulla seconda condizione..
Avendo $A(p)=t^2p(0)$ ho che la condizione in $1$ in "vale $t^2$ e che rispetto la base canonica ha cordinate proprio $t^2$ però sia $t$ sia $t^2$ in $0$ valgono $0$ quindi la matrice associata a $B$ è $((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0))$.... spero di aver fatto giusto... ma ancora nn credo di averlo in mano l'esercizio sarebbe utile averne di simili se possibile
Avendo $A(p)=t^2p(0)$ ho che la condizione in $1$ in "vale $t^2$ e che rispetto la base canonica ha cordinate proprio $t^2$ però sia $t$ sia $t^2$ in $0$ valgono $0$ quindi la matrice associata a $B$ è $((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0))$.... spero di aver fatto giusto... ma ancora nn credo di averlo in mano l'esercizio sarebbe utile averne di simili se possibile
Esatto, a me sembra giusto. L'unica cosa...
In realtà le coordinate rispetto alla base canonica $B$ di $A(1)$ sono $((0),(0),(1))$ ( $A(1) = 0 * 1 + 0 * t + 1 * t^2$ ).
"Levian":
vale $t^2$ e che rispetto la base canonica ha cordinate proprio $t^2$
In realtà le coordinate rispetto alla base canonica $B$ di $A(1)$ sono $((0),(0),(1))$ ( $A(1) = 0 * 1 + 0 * t + 1 * t^2$ ).
si si avevo usato annotazioni un pò brutali, logicamente siamo in $P_2(t)$ e stiamo lavorando su endomorfismo quindi la dimensione nn cambia
vorrei capire se ho tutto chiaro
sia $T:RR_1[t]->RR_1[t]$ data da $T(p(t))=2p(t)-p(t+1)$
-trovare la matrice $A$ associata alla base $B=(1,1+t)$
-e rispetto alle basi $B$ e $C=(1,t)$
Quindi, $A$ è una $2x2$ dove le colonne sono di $A$ sono rappresentate dai coefficienti delle combinazioni lineari delle immagini dei vettori della base di partenza rispetto la base di arrivo.
$A=((a,b),(c,d))$
Quindi mi calcolo l'immagine dei vettori di $B$
$T(1)= 2*1-1=1$ e $T(t)=2*(1+t)-(1+(1+t)=t$
ora posso calcolare le cordinate rispetto a $B$ e $C$.
nel primo caso devo avere:
$T(1)=a*1+c(t+1)$ e $T(t+1)=b*1+d(1+t)$
quindi $1=a+c+ct->a=1,c=0$ e $t=b+d+dt->b=-1,d=1$ $A=((1,-1),(0,1))$
nel secondo caso:
$T(1)=a*1+c(t)$ e $T(t+1)=b*1+d(t)$ quindi $A=((1,0),(0,1))$
Esistono altri metodi per svolgere questo tipo di esercizzi?
A livello teorico è tutto ok? Dovrei fare qualche altra precisazione? ciao e grazie a todos
sia $T:RR_1[t]->RR_1[t]$ data da $T(p(t))=2p(t)-p(t+1)$
-trovare la matrice $A$ associata alla base $B=(1,1+t)$
-e rispetto alle basi $B$ e $C=(1,t)$
Quindi, $A$ è una $2x2$ dove le colonne sono di $A$ sono rappresentate dai coefficienti delle combinazioni lineari delle immagini dei vettori della base di partenza rispetto la base di arrivo.
$A=((a,b),(c,d))$
Quindi mi calcolo l'immagine dei vettori di $B$
$T(1)= 2*1-1=1$ e $T(t)=2*(1+t)-(1+(1+t)=t$
ora posso calcolare le cordinate rispetto a $B$ e $C$.
nel primo caso devo avere:
$T(1)=a*1+c(t+1)$ e $T(t+1)=b*1+d(1+t)$
quindi $1=a+c+ct->a=1,c=0$ e $t=b+d+dt->b=-1,d=1$ $A=((1,-1),(0,1))$
nel secondo caso:
$T(1)=a*1+c(t)$ e $T(t+1)=b*1+d(t)$ quindi $A=((1,0),(0,1))$
Esistono altri metodi per svolgere questo tipo di esercizzi?
A livello teorico è tutto ok? Dovrei fare qualche altra precisazione? ciao e grazie a todos
Nel secondo punto mi sembra sia richiesta la matrice di $f$ rispetto alle due basi fissate: $B$ nell' $RR_1[t]$ di partenza e $C$ nell'$RR_1[t]$ di arrivo.
credo di nn avere effettuato la sostituzione... ho messo solo la matrice. Perchè $T(t)=t+1$ quindi la matrice associata a $C$ è $A=((1,1),(0,1))$. invece precedentemente credo di avere sostituito $B$ e poi ho trovato la matrice $A$ rispetto a $C$ o sbaglio? Infatti l'inversa della base $C$, essendo l'immagine $B=(1,t+1)=idV$ e proprio la matrice $A=((1,-1),(0,1))$.
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