Matrice associata ad un endomorfismo
Salve, un esercizio mi chiede di scrivere la matrice associata ad un endomorfismo f: R^3 --> R^3 definito da
f(1,1,0) = (1,0,1)
f(0,1,-1) = (0,k,-k)
f(1,1,1) = (2,2,2)
rispetto alla base B=((1,1,0),(0,1,-1),(1,1,1))
Come faccio a scrivere la matrice associata? Grazie
f(1,1,0) = (1,0,1)
f(0,1,-1) = (0,k,-k)
f(1,1,1) = (2,2,2)
rispetto alla base B=((1,1,0),(0,1,-1),(1,1,1))
Come faccio a scrivere la matrice associata? Grazie
Risposte
Basta ricordare cos’è la matrice associata.
P.S.: Ma $B$ è base del dominio, del codominio o di entrambi contemporaneamente?
P.S.: Ma $B$ è base del dominio, del codominio o di entrambi contemporaneamente?
Vediamo
La matrice associata a un endomorfismo \(\displaystyle T \) rispetto alla base \(\displaystyle v_1,...,v_n \) (inteso come: stessa base in arrivo e in partenza, come immagino intendessi tu) è quella che ha, come colonna j-esima,
\(\displaystyle [T]^j=T(v_j) \).
Adesso i calcoli sono facili, anzi stenterei a definirli calcoli...
Per capire se hai capito dimostra che l'applicazione identità ha la stessa matrice rispetto a qualsiasi base (assumendo che sia la stessa in partenza e in arrivo).
La matrice associata a un endomorfismo \(\displaystyle T \) rispetto alla base \(\displaystyle v_1,...,v_n \) (inteso come: stessa base in arrivo e in partenza, come immagino intendessi tu) è quella che ha, come colonna j-esima,
\(\displaystyle [T]^j=T(v_j) \).
Adesso i calcoli sono facili, anzi stenterei a definirli calcoli...
Per capire se hai capito dimostra che l'applicazione identità ha la stessa matrice rispetto a qualsiasi base (assumendo che sia la stessa in partenza e in arrivo).
B è la base di dominio e condominio
Può essere che la matrice associata sia questa?
1 0 0
-1 k 0
0 0 2
Mettendo in colonna le coordinate dei vettori (1,0,1) (0,k,-k) (2,2,2) rispetto alla base B
Può essere che la matrice associata sia questa?
1 0 0
-1 k 0
0 0 2
Mettendo in colonna le coordinate dei vettori (1,0,1) (0,k,-k) (2,2,2) rispetto alla base B
Ciao,
Provo a darti la mia soluzione:
Se non sbaglio si tratta di scrivere i vettori (1,0,1), (0,k,-k), (2,2,2) come combinazione lineare della base di arrivo:
$((1),(0),(1))$=$\alpha((1),(1),(0))$+$\beta((0),(1),(-1))$+$\gamma((1),(1),(1))$
e risolvere il sistema.
da qui ricavo: $\alpha$=1, $\beta$=-1, $\gamma$=0
Analogamente:
$((0),(k),(-k))$=$\alpha((1),(1),(0))$+$\beta((0),(1),(-1))$+$\gamma((1),(1),(1))$
da cui si ricava: $\alpha$=0, $\beta$=k, $\gamma$=0
e infine:
$((2),(2),(2))$=$\alpha((1),(1),(0))$+$\beta((0),(1),(-1))$+$\gamma((1),(1),(1))$
da cui si ricava: $\alpha$=0, $\beta$=0, $\gamma$=2.
Le coordinate dei vettori sono le colonne della matrice associata cioè indicando con B la base in partenza e in arrivo:
$M_{ B}^{B}$(f)=$((1,0,0),(-1,k,0),(0,0,2))$
Quindi la tua risposta dovrebbe essere corretta.
Aspetta comunque conferma da chi è più esperto.
Provo a darti la mia soluzione:
Se non sbaglio si tratta di scrivere i vettori (1,0,1), (0,k,-k), (2,2,2) come combinazione lineare della base di arrivo:
$((1),(0),(1))$=$\alpha((1),(1),(0))$+$\beta((0),(1),(-1))$+$\gamma((1),(1),(1))$
e risolvere il sistema.
da qui ricavo: $\alpha$=1, $\beta$=-1, $\gamma$=0
Analogamente:
$((0),(k),(-k))$=$\alpha((1),(1),(0))$+$\beta((0),(1),(-1))$+$\gamma((1),(1),(1))$
da cui si ricava: $\alpha$=0, $\beta$=k, $\gamma$=0
e infine:
$((2),(2),(2))$=$\alpha((1),(1),(0))$+$\beta((0),(1),(-1))$+$\gamma((1),(1),(1))$
da cui si ricava: $\alpha$=0, $\beta$=0, $\gamma$=2.
Le coordinate dei vettori sono le colonne della matrice associata cioè indicando con B la base in partenza e in arrivo:
$M_{ B}^{B}$(f)=$((1,0,0),(-1,k,0),(0,0,2))$
Quindi la tua risposta dovrebbe essere corretta.
Aspetta comunque conferma da chi è più esperto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo