Matrice associata ad un endomorfismo

[Planets]

Sia f l'endomorfismo di R3 che significa simultaneamente le seguenti condizioni:

a) f((-1,-1,1))=(0,0,0)
b) f((1,0,1))=(1,2,-3)
c) (1,-1,0) è un autovettore di f relativo all'autovalore -1

Allora
1. Trovare la matrice di f rispetto alla base canonica di R3.
2. Stabilire se f è diagonalizzabile e, in caso positivo, trovare una base di R3 formata da autovettori di f.

Ho un paio di problemi con questo esercizio, non riesco a capire come interpretare la condizione c e come trovare la matrice rispetto alla base canonica.

Grazie

[feddy]

c) è equivalente a dire $Av=lambdav$ con $v=((1),(-1),(0))$ e $lambda=-1$...

Inoltre, nota che scrivere $f(v)$ è la stessa cosa che fare $A*v$.

Poi, sfrutta la linearità dell'applicazione e con qualche conto potrai scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica

[Planets]

Ah già quindi la terza condizione si traduce in f((1,-1,0))=(-1,1,0).

Ora per quanto riguarda la matrice, devo considerare ad esempio f((-1,-1,1)) come f((-e1-e2+e3))=(0,0,0)?

Grazie per la risposta feddy

[feddy]

puoi notare per esempio che $f(1,0,0) = -1/3f(-1,-1,1) + 1/3f(1,0,1) + 1/3f(1,-1,0)$
poi puoi procedere analogamente per determinare gli altri due trasformati di $e_1, e_2$

[Planets]

C'è solo questo modo per per determinarli? Avevo visto degli esercizi in cui questo passaggio era praticamente immediato ma in questo caso non è cosi immediato

P.s. sei riuscito poi a vedere quella parte dell'esercizio sulla controimmagine dell'altro topic?:-)

[feddy]

è immediato tipo quando hai che $f((2),(0),(1))= ((x),(y),(z))$ e f$((1),(0),(1)) = ((p),(s),(t))$, dove puoi sfruttare il fatto che l'applicazione è lineare e vedere che $((1),(0),(0)) = ((2),(0),(1)) - ((1),(0),(1)) $ e pertanto scrivere $f((1),(0),(0)) = f((2),(0),(1)) - f((1),(0),(1))$.

Ora invece hai tre vettori del dominio (sono lin. indipendenti). La tua applicazione allora esiste ed è unica e puoi determinare i trasformati della base canonica impostando: $((1),(0),(0)) = x((-1),(-1),(1))+ y((1),(0),(1))+ z((1),(-1),(0))$ con x,y,z da determinare

[feddy]

non l'ho più guardato mi spiace, anche perché avevo altro da fare

[Planets]

Ok grazie lo stesso, ora sono riuscita a ricavarne la matrice associata ad f rispetto la base canonica.
Procedendo per il secondo punto, determinò gli autovalori della matrice A e verifico le condizioni di diagonalizzazione.. ma A è questa matrice che ho trovato ora?

[feddy]

certo, A è la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica che hai appena trovato...

[Planets]

Ok perfetto grazie mille
Un altro esercizio invece chiedeva di determinare una base di autovettori senza calcolare l'autospazio, come è possibile farlo?