Matrice associata ad un endomorfismo

[giggio32]

Salve ragazzi ho un problema con questo esercizio:
Sia $ f(e1 + e2) = 2e1 + 2e2$
$f(e1 −e3) = 2e1 −2e3 $
$f(e1 + e2 + e3) = e2 + e3 $

Non riesco a trovarmi le immagini...ho fatto il sistema e mi esce che
$ f(e1)=2e1-4e2-e3$
$f(e2)=2e2+5e2+e3$
$f(e3)=-10e2-3e3 $

Secondo me non è giusto...Potete aiutarmiii

[Gio23121]

Un endomorfismo è un applicazione lineare quindi
$ f(e1 + e2 + e3) $ sarebbe $f(e1)+f(e2)+f(e3)$
$f(e1 + e2)$ = $f(e1)+f(e2)$

Se sottrai $f(e1)+f(e2)+f(e3)$ - $f(e1) - f(e2)$ hai $f(e3)$
Sottrai le relative immagini e hai $f(e3)$ = (-2,-1,1)

Ragiona allo stesso modo per $f(e1)$ e $f(e2)$

[giggio32]

scusami non ti ho capito...

[Gio23121]

Un endomorfismo è un particolare tipo di applicazione lineare nel quale dominio e codominio coincidono.
Ciò che ti interessa comunque sapere è che è innanzi tutto un' applicazione lineare
Quindi hai f:V--->V entrambi definiti su un campo K
Un applicazione è lineare se gode di tre proprietà :
1)f(0) = 0
2)f(v1+v2) = f(v1)+f(v2) per ogni v1,v2 appartenenti a V
3)$alpha f(v1)$ = $f(alphav1)$ per ogni $alpha$ in K e ogni $v1$ in V

Quindi per esempio puoi scrivere$f(e1 + e2)=f(e1)+f(e2)$

Se ragionare con e1,e2,e3 ti crea qualche dubbio ricorda che :
e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1)

Quindi $f(e1 + e2)$ = $f((1,0,0)+(0,1,0))$ = $f(1,0,0)+f(0,1,0)$ = f(1,1,0)
Allo stesso modo $ f(e1)+f(e2)+f(e3) $ = $ f(e1 + e2 + e3) $ = f(1,1,1)

Sottrai f(1,1,1)-f(1,1,0) = f(0,0,1) = f(e3)

Ora però sai che $ f(e1 + e2) = 2e1 + 2e2 $ cioè f(1,1,0) = (2,2,0)
$ f(e1 + e2 + e3) = e2 + e3 $ cioè f(1,1,1) = (0,1,1)

Quindi f(0,0,1) = (0,1,1)-(2,2,0) = (-2,-1,1)

[giggio32]

Quindi la matrice associata a questo endomorfismo è : $ ( ( 2 ,0 , -2 ),( 2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

[giggio32]

up

[giggio32]

nessuno ?

[Gio23121]

Scusa scusa mi ero dimenticato di risponderti comunque a me risulta
f(1,0,0) = (0,1,-1)
f(0,1,0)=(2,1,1)