Matrice associata ad un applicazione lineare tra spazi di polinomi

[Gio23121]

Buonasera, ho problemi con le applicazioni lineari tra spazi di polinomi, non riesco a capire come calcolarmi le matrici associate. Per esempio:
Si consideri la funzionef : R2[x] → R2[x], p(x) → $ (-1/2x^2+1/2x+3/2)p''(x)+(3x+2)p'(x)+p(x) $ .
Come faccio a scrivere la matrice associata?
So che devo partire dalla base canonica di R2[x] (1,x,x^2) ma non so come sfruttarla
Devo considerare p(x) ogni singolo elemento della base e calcolarmi quella che sarebbe l'immagine o devo considerare direttamente come p(x) il generico polinomio di R2[x] : $ a_2x^2+a_1x+a_0 $

[billyballo2123]

La matrice è $3\times 3$ ed è della forma
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}.
\]
Di fatto il polinomio $1$ corrisponde al vettore $(1,0,0)$, il polinomio $x$ al vettore $(0,1,0)$ e il polinomio $x^2$ al vettore $(0,0,1)$. Dato che $f(1)=1$ (cioè $f(1,0,0)=(1,0,0)$), $f(x)=4x+2$ (cioè $f(0,1,0)=(2,4,0)$) e $f(x^2)=6x^2+5x+3$ (cioè $f(0,0,1)=(3,5,6)$), si ha che
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
a_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}, \\

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{12} \\
a_{22} \\
a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
4 \\
0
\end{bmatrix}, \\

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{13} \\
a_{23} \\
a_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\
5 \\
6
\end{bmatrix},
\]
dunque la matrice è
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}.
\]

[Gio23121]

Ti ringrazio! Finalmente ho capito

[billyballo2123]

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