Matrice associata ad un applicazione lineare
Potreste spiegarmi ogni minimo passaggio, magari con un esempio, di come si trova la matrice associata?
Risposte
Ogni applicazione lineare da $ K^n mapsto K^m $ definisce una matrice $ A in M_{mxn} $.
La matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica si ottiene disponendo per colonne le immagini de vettori della base canonica. Ossia $f (e_i), i=1...n $.
Prova a scrivere la matrice associata a $phi: R^3 mapsto R^2$ tale che $phi(x,y,z) = (x+y, z) $
La matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica si ottiene disponendo per colonne le immagini de vettori della base canonica. Ossia $f (e_i), i=1...n $.
Prova a scrivere la matrice associata a $phi: R^3 mapsto R^2$ tale che $phi(x,y,z) = (x+y, z) $
Innanzitutto lascio a te il compito di dimostrare che sia effettivamente un'applicazione lineare (basta verificare tre assiomi).
Visto che non hai tentato di risolverlo, ti inizio un esercizio classico, facile facile ma molto frequente.
Scriviamo la matrice associata rispetto alla base canonica $xi$.
Proviamo ora a calcolare, per esempio , l'immagine del vettore $v=((2),(1),(0))$ tramite $phi$ in due modi diversi ma equivalenti.
Il primo, applicando la definizione di $phi: phi((2),(1),(0))=((3),(0))$.
Il secondo, sfruttando la matrice associata e dunque il prodotto $A*v = ((3),(0)) $.
In questo modo appare evidente come la matrice associata corrisponda effettivamente alla definizione dell'applicazione lineare.
Un'altra richiesta potrebbe essere:
data una base $B$ di $ mathbb(R^3) $, formata da $((2),(1),(0)), ((0),(2),(0)), ((1),(1),(1))$ e una base $C$ di $ mathbb(R^2) $ $((2),(0)), ((1),(1))$: scrivi la matrice associata a $phi$ rispetto alla base $B$ sul dominio e alla base $C$ nel codominio.
Visto che non hai tentato di risolverlo, ti inizio un esercizio classico, facile facile ma molto frequente.
Scriviamo la matrice associata rispetto alla base canonica $xi$.
Proviamo ora a calcolare, per esempio , l'immagine del vettore $v=((2),(1),(0))$ tramite $phi$ in due modi diversi ma equivalenti.
Il primo, applicando la definizione di $phi: phi((2),(1),(0))=((3),(0))$.
Il secondo, sfruttando la matrice associata e dunque il prodotto $A*v = ((3),(0)) $.
In questo modo appare evidente come la matrice associata corrisponda effettivamente alla definizione dell'applicazione lineare.
Un'altra richiesta potrebbe essere:
data una base $B$ di $ mathbb(R^3) $, formata da $((2),(1),(0)), ((0),(2),(0)), ((1),(1),(1))$ e una base $C$ di $ mathbb(R^2) $ $((2),(0)), ((1),(1))$: scrivi la matrice associata a $phi$ rispetto alla base $B$ sul dominio e alla base $C$ nel codominio.
Per l'ultimo punto puoi procedere in due modi diversi.
Se hai fatto bene la teoria del cambiamento di base, puoi utilizzare il prodotto matriciale per esprimere l'applicazione $phi$ con dominio $B$ e codominio $C$.
Altrimenti possiamo ragionare in modo più meccanico.
1. modo
$ underbrace(Bmapstoxi)_Punderbrace(mapstoxi)_Aunderbrace(mapstoC)_(C^-1) $
ai piedi di ogni passaggio è indicata la matrice corrispondente.
$A$ è la matrice associata all'applicazione rispetto a $xi$.
$B$ è la matrice di cambio di base dalla base B alla base canonica. Si ottiene disponendo i vettori della base B per colonne.
$C$ è la matrice di cambio di base dalla base C alla base canonica.Si ottiene disponendo i vettori della base C per colonne.
$ ((2,1),(0,1))^-1*((1,1,0),(0,0,1))*((2,0,1),(1,2,1),(0,0,1)) = ((3/2,1,1/2),(0,0,1)) $
2. modo
troviamo le immagini degli elementi della base $B$.
Ossia
$phi((2),(1),(0)) = ((3),(0))$
$phi((0),(2),(0)) = ((2),(0))$
$phi((1),(1),(1)) = ((2),(1))$
Questi vettori però ora sono espressi rispetto alla base canonica ! Dobbiamo esprimerli rispetto a $C$.
Basta dunque esprimere ogni vettore immagine come combinazione lineare degli elementi di $C$.
$ ((3),(0))= a ((2),(0)) + b ((1),(1))$ da cui ricavo $a = 3/2$ e $b=0$
...analogamente per gli altri due... il risultato ovviamente è uguale a quello precedente.
Se hai fatto bene la teoria del cambiamento di base, puoi utilizzare il prodotto matriciale per esprimere l'applicazione $phi$ con dominio $B$ e codominio $C$.
Altrimenti possiamo ragionare in modo più meccanico.
1. modo
$ underbrace(Bmapstoxi)_Punderbrace(mapstoxi)_Aunderbrace(mapstoC)_(C^-1) $
ai piedi di ogni passaggio è indicata la matrice corrispondente.
$A$ è la matrice associata all'applicazione rispetto a $xi$.
$B$ è la matrice di cambio di base dalla base B alla base canonica. Si ottiene disponendo i vettori della base B per colonne.
$C$ è la matrice di cambio di base dalla base C alla base canonica.Si ottiene disponendo i vettori della base C per colonne.
$ ((2,1),(0,1))^-1*((1,1,0),(0,0,1))*((2,0,1),(1,2,1),(0,0,1)) = ((3/2,1,1/2),(0,0,1)) $
2. modo
troviamo le immagini degli elementi della base $B$.
Ossia
$phi((2),(1),(0)) = ((3),(0))$
$phi((0),(2),(0)) = ((2),(0))$
$phi((1),(1),(1)) = ((2),(1))$
Questi vettori però ora sono espressi rispetto alla base canonica ! Dobbiamo esprimerli rispetto a $C$.
Basta dunque esprimere ogni vettore immagine come combinazione lineare degli elementi di $C$.
$ ((3),(0))= a ((2),(0)) + b ((1),(1))$ da cui ricavo $a = 3/2$ e $b=0$
...analogamente per gli altri due... il risultato ovviamente è uguale a quello precedente.
Grazie dell'aiuto. Ora leggo con calma e attentamente cìò che hai scritto 
Faccio un'esempio:
l'applicazione lineare da $ RR^4 mapsto RR^3 $ definita da $f(x,y,z,t) = (x-5t, y+z+t, x-y-z-t)$
è data da $ ((1,0,0,-5),(0,1,1,1), (1,-1,-1,-1) $
Faccio un'esempio:
l'applicazione lineare da $ RR^4 mapsto RR^3 $ definita da $f(x,y,z,t) = (x-5t, y+z+t, x-y-z-t)$
è data da $ ((1,0,0,-5),(0,1,1,1), (1,-1,-1,-1) $
Per trovarla, come al solito, è necessario disporre per colonna le immagini dei vettori della base canonica.
La matrice associata à : $ [ ( 1 , 0 , 0 ,-5),( 0 , 1 , 1,1),( 1 , -1 ,-1,-1) ] $
La matrice associata à : $ [ ( 1 , 0 , 0 ,-5),( 0 , 1 , 1,1),( 1 , -1 ,-1,-1) ] $
"feddy":
.
come faccio a trovare questa matrice associata:
sia F:R3->R3
$F(0,1,1)=(5,2,3)$
$F(2,0,0)=(2,2,0)$
$F(1,1,0)=(2,1,1)$
1.matrice associata rispetto a che base ? presumo quella canonica.
sfrutta la linearità.
se $phi$ è applicazione lineare allora $phi(alphaa+betab)=alphaphi(a) + betaaphi(b)$.
ti invito però a tentare un tentativo di risoluzione, visto che in questa discussione ti ho postato un esercizio già ampiamente risolto
sfrutta la linearità.
se $phi$ è applicazione lineare allora $phi(alphaa+betab)=alphaphi(a) + betaaphi(b)$.
ti invito però a tentare un tentativo di risoluzione, visto che in questa discussione ti ho postato un esercizio già ampiamente risolto
[quote=feddy]1.matrice associata rispetto a che base ? presumo quella canonica.
sfrutta la linearità.
se $phi$ è applicazione lineare allora $phi(alphaa+betab)=alphaphi(a) + betaaphi(b)$.
si rispetto a quella canonica.
La matrice associata è : $ [ ( 1 , 1 , 4 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0, 1 , 2) ] $
come mai come coefficenti trovo $a=(1/2) , b=0, c=0$?
sfrutta la linearità.
se $phi$ è applicazione lineare allora $phi(alphaa+betab)=alphaphi(a) + betaaphi(b)$.
si rispetto a quella canonica.
La matrice associata è : $ [ ( 1 , 1 , 4 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0, 1 , 2) ] $
come mai come coefficenti trovo $a=(1/2) , b=0, c=0$?
E' corretto ciò che hai trovato. Questo significa che $phi((1),(0),(0)) = 1/2phi((2),(0),(0))$ (si poteva vedere a occhio).
Ora quindi abbiamo $phi((1),(0),(0)) = 1/2 ((2),(2),(0)) = ((1),(1),(0))$. Ed ecco infatti la prima colonna della tua matrice
Ora quindi abbiamo $phi((1),(0),(0)) = 1/2 ((2),(2),(0)) = ((1),(1),(0))$. Ed ecco infatti la prima colonna della tua matrice
curiosità... studi su qualche testo oppure hai gli appunti del docente ?
ok. ora è tutto chiaro. questo procedimento funziona prendendo un base qualsiasi?
"feddy":
curiosità... studi su qualche testo oppure hai gli appunti del docente ?
dispense docente ma mi sembrano un po troppo riduttive
Certo, funziona con qualsiasi base: bisogna però stare attenti a esprimere i vettori rispetto alla base di arrivo (se non è la stessa di quella canonica).
Guarda l'esercizio che ti ho risolto, ti ho spiegato come trovare la matrice associata rispetto a una base non canonica sia nello spazio di partenza che in quello di arrivo.
Guarda l'esercizio che ti ho risolto, ti ho spiegato come trovare la matrice associata rispetto a una base non canonica sia nello spazio di partenza che in quello di arrivo.
"feddy":
Certo, funziona con qualsiasi base: bisogna però stare attenti a esprimere i vettori rispetto alla base di arrivo (se non è la stessa di quella canonica).
Guarda l'esercizio che ti ho risolto, ti ho spiegato come trovare la matrice associata rispetto a una base non canonica sia nello spazio di partenza che in quello di arrivo.
ok grazie.
"feddy":
curiosità... studi su qualche testo oppure hai gli appunti del docente ?
perchè?
Perché sono argomenti che in genere sui libri sono spiegati chiaramente, tutto qui 
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