Matrice associata ad f rispetto alla base canonica
Ciao vorrei avere chiarimenti su questo esercizio:
Sia f un'applicazione lineare R^3 ->R^4 tale che
f(1,2,0)= (1,-3,2,4) ,f(2,1,0) = (5,−3,1,2),f(1,0,1) = (−2,0,1,1).
Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Grazie mille a chi mi darà un aiutino!
Sia f un'applicazione lineare R^3 ->R^4 tale che
f(1,2,0)= (1,-3,2,4) ,f(2,1,0) = (5,−3,1,2),f(1,0,1) = (−2,0,1,1).
Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Grazie mille a chi mi darà un aiutino!
Risposte
Per trovare la matrice
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\]
devi risolvere il sistema
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
-3 \\
2 \\
4
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
-3 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
Se poni
\[
v_1=
\begin{bmatrix}
1 \\
-3 \\
2 \\
4
\end{bmatrix},
v_2=
\begin{bmatrix}
5 \\
-3 \\
1 \\
2
\end{bmatrix},
v_1=
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
\]
e
\[
v_j=
\begin{bmatrix}
v_{1j} \\
v_{2j} \\
v_{3j} \\
v_{4j}
\end{bmatrix},
\]
per $j=1,2,3$, allora il sistema è
$ { ( a_{i1}+2a_{i2}=v_{i1} ),( 2a_{i1}+a_{i2}=v_{i2} ),( a_{i1}+a_{i3}=v_{i3} ):} $
con $i=1,2,3,4$.
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\]
devi risolvere il sistema
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
-3 \\
2 \\
4
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
-3 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
Se poni
\[
v_1=
\begin{bmatrix}
1 \\
-3 \\
2 \\
4
\end{bmatrix},
v_2=
\begin{bmatrix}
5 \\
-3 \\
1 \\
2
\end{bmatrix},
v_1=
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
\]
e
\[
v_j=
\begin{bmatrix}
v_{1j} \\
v_{2j} \\
v_{3j} \\
v_{4j}
\end{bmatrix},
\]
per $j=1,2,3$, allora il sistema è
$ { ( a_{i1}+2a_{i2}=v_{i1} ),( 2a_{i1}+a_{i2}=v_{i2} ),( a_{i1}+a_{i3}=v_{i3} ):} $
con $i=1,2,3,4$.