Matrice associata ad endomorfismo

[Lawlietz]

Buona sera,
vi propongo un esercizietto al volo
E' dato un endomorfismo di $\R^2$ la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche di $\R^2$ è $\((1 ,1),(1 ,1))$ e si chiede di trovare la matrice associata rispetto alla base $\ B={ (1,1) (1,-1)}$. Quello che ho pensato di fare io è ,considerando che $\f(e_1)=(1,1)=f(e_2)$ allora riscrivo l'applicazione in forma analitica come $\f(x,y)=(x+y,x+y)$ e quindi la sua matrice rispetto a quella base penso sia ottenuta incolonnando $\f(1,1)=(2,2)$ ed $\f(1,-1)=(0,0)$ quindi $\((2,0),(2,0))$. Vi torna?

[Bokonon]

"Lawlietz":Vi torna?

No
$ A=( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $
$ B=( ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) ) $
$A=BXB^-1$ $ rArr $ $X=B^-1AB=( ( 2 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $

[Lawlietz]

mi spiegheresti cosa non va nel mio ragionamento?

[Bokonon]

"Lawlietz":mi spiegheresti cosa non va nel mio ragionamento?

Nulla di personale ma trovo che il metodo tutto italiano di far ragionare riga per riga sia un'inutile perdita di tempo e che conduca solo ad fare errori più facilmente (logici o di calcolo). Ho un rifiuto mentale per fare calcoli del genere.
Si ragiona per matrici...

[Magma1]

"Lawlietz":Dato un endomorfismo $f: RR^2->RR^2$ la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche di $RR^2$ è $A=((1 ,1),(1 ,1))$ e si chiede di trovare la matrice associata rispetto alla base $mathcalB={ ((1),(1)) ,((1),(-1))}$.

Quello che ho pensato di fare io è ,considerando che

$\f(e_1)=(1,1)=f(e_2)$

allora riscrivo l'applicazione in forma analitica come $\f(x,y)=(x+y,x+y)$ e quindi la sua matrice rispetto a quella base penso sia ottenuta incolonnando $\f(1,1)=(2,2)$ ed $\f(1,-1)=(0,0)$ quindi $\((2,0),(2,0))$. Vi torna?

Quella da te determinata è la seguente matrice associata: $M_(EB)(f)$.

Ti viene chiesto di calcolare $M_(BB)(f)$ ([nota]$M_(BB)(f)$ ha come colonna le componenti delle immagini dei vettori $b in mathcalB$ rispetto alla base medesima base $mathcalB$.[/nota]), sapendo le immagine devi vettori della base $mathcalE$.
Prima di tutto occorrerebbe scrivere i vettori $b_i in mathcalB$ come C.L. dei vettori della base $mathcalE$, il che equivale a determinare le componenti dei vettori $b_i$ rispetto alla base $mathcalE$: in questo caso non è necessario alcun computo in quanto si sa che

$_E=b, qquad AA b in RR^2 qquad$([nota]Le componenti di un generico vettore $w in RR^2$ rispetto a una base $mathcalC={v_1,v_2}$ si ricavano risolvendo un sistema lineare nelle incognite $alpha, beta in RR$: $alpha v_1 +betav_2=w, qquad AAw in RR^2$[/nota])

Ora siamo in grado di determinare le immagini dei vettori $b_i$ semplicemente applicando la linearità

$f((1),(1))=f(e_1+e_2)=f(e_1)+f(e_2)=((2),(2))$

il che, nota banalmente l'espressione dei vettori $b$ rispetto alla base $mathcalE$, è equivalente a eseguire il seguente prodotto riga per colonna

$L_A(((1),(1)))=((1,1),(1,1))((1),(1))=((2),(2))$

per completare la determinazione della matrice cercata, occorre esprimere tale immagine come C.L. della stesa base $mathcalB$:

$[f((1),(1))]_B=[((2),(2))]_B=((2),(0))$

Quindi la prima colonna sarà $M_(BB)(f)=((2,**),(0,**))$

-------------------------

Ora, analizzato il ragionamento di fondo, determinare la seconda colonna è immediato:

$L_A((1),(-1))=((1,1),(1,1))((1),(-1))=((0),(0))$

per cui

$[f((1),(-1))]_B=[((0),(0))]_B=((0),(0))$

Si può quindi concludere che la matrice cercata è proprio:

$M_(BB)(f)=((2,0),(0,0))$

EDIT: corretto errore meramente computazionale.

[Bokonon]

"Magma":
Si può quindi concludere che la matrice cercata è proprio:

$M_(BB)(f)=((2,1/2),(0,1/2))$

Ecco un eccellente esempio pratico di cosa intendevo, Lawlietz.
Giri contorti per arrivare ad un risultato chiaramente sbagliato.
$ BXB^-1=( ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) )((2,1/2),(0,1/2))( ( 1/2 , 1/2 ),( 1/2 , -1/2 ) )!=A $
come potrai constatare.

[Magma1]

"Magma":
Si può quindi concludere che la matrice cercata è proprio:

$M_(BB)(f)=((2,1/2),(0,1/2))$

Corretto una svista di calcolo: scrissi $L_A(((1),(-1)))=((1,1),(1,1))((1),(-1))=((1),(0))$ ma chiaramente si deve ottenere il vettore nullo; quindi $M_(BB)(f)=((2,0),(0,0))$.

"Bokonon":Ecco un eccellente esempio pratico di cosa intendevo, Lawlietz.
Giri contorti per arrivare ad un risultato chiaramente sbagliato.

@Bokonon: Dovrebbe sapere che un errore computazionale non inficia un ragionamento teorico lineare!