Matrice associata ad applicazione lineare in R^3
Purtroppo questo tipo di esercizi mi confondono e resto bloccato.
Il testo è il seguente:
L’applicazione lineare $T : R^3 → R^3$ soddisfa:
1. $Ker T$ è generato dal vettore $((1),(1),(0))$
2. l’autospazio di autovalore 2 ha equazione $x1 + x2 + x3 = 0$.
Scrivere la matrice associata a T utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo. Dire se
T è diagonalizzabile.
Gli elementi che sono "riuscito" a capire io è che ho la base canonica del tipo $B={( 1 , 0 , 0),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1)}$
Tramite la definizione di autovetture conosciamo un autovalore $a=2$ di un autospazio di equazione $x1 + x2 + x3 = 0$
Quindi dato che $F(v)=a * v$ si ha che $F( 1 , 1 , 1 ) = 2( 1 , 1 , 1 )$
Con l'informazione relativa a $Kern T$ si ha che $F( 1 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 )$
Come posso procedere ora per arrivare a trovarmi la matrice associata?
Il testo è il seguente:
L’applicazione lineare $T : R^3 → R^3$ soddisfa:
1. $Ker T$ è generato dal vettore $((1),(1),(0))$
2. l’autospazio di autovalore 2 ha equazione $x1 + x2 + x3 = 0$.
Scrivere la matrice associata a T utilizzando le basi canoniche sia in partenza che in arrivo. Dire se
T è diagonalizzabile.
Gli elementi che sono "riuscito" a capire io è che ho la base canonica del tipo $B={( 1 , 0 , 0),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1)}$
Tramite la definizione di autovetture conosciamo un autovalore $a=2$ di un autospazio di equazione $x1 + x2 + x3 = 0$
Quindi dato che $F(v)=a * v$ si ha che $F( 1 , 1 , 1 ) = 2( 1 , 1 , 1 )$
Con l'informazione relativa a $Kern T$ si ha che $F( 1 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 )$
Come posso procedere ora per arrivare a trovarmi la matrice associata?
Risposte
"Haring":
Quindi dato che $F(v)=a * v$ si ha che $F( 1 , 1 , 1 ) = 2( 1 , 1 , 1 )$
Da dove hai preso $((1),(1),(1))$?
Ho pensato che potessi ricavare quell'informazione dal punto 2 del testo:
l’autospazio di autovalore 2 ha equazione $x1+x2+x3=0$.
Considerati i coefficienti delle incognite.
E' sbagliato?
l’autospazio di autovalore 2 ha equazione $x1+x2+x3=0$.
Considerati i coefficienti delle incognite.
E' sbagliato?
Completamente sbagliato.
Hai $1$ equazione in $3$ incognite e, per Kronecker-Rouché-Capelli, si devono avere $oo^2$ soluzioni; ovvero
predi come pivot $a_11$ e ottieni come vettore soluzione
Quindi $((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1))$ sono gli autovettori dell'autovalore $2$.
Alla luce di ciò, come risponderesti a questa domanda?
Hai $1$ equazione in $3$ incognite e, per Kronecker-Rouché-Capelli, si devono avere $oo^2$ soluzioni; ovvero
$x+y+z=0 hArr ((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0)) ((x),(y),(z)) =((0),(0),(0)) $
predi come pivot $a_11$ e ottieni come vettore soluzione
$((-y-z),(y),(z))=y((-1),(1),(0))+z((-1),(0),(1))$
Quindi $((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1))$ sono gli autovettori dell'autovalore $2$.
Alla luce di ciò, come risponderesti a questa domanda?
"Haring":
Dire se $T$ è diagonalizzabile
"Magma":[/quote]
Alla luce di ciò, come risponderesti a questa domanda?
[quote="Haring"]Dire se $ T $ è diagonalizzabile
Direi che non essendoci autovalori distinti la matrice non è diagonalizzabile. Corretto?
"Haring":
Direi che non essendoci autovalori distinti la matrice non è diagonalizzabile. Corretto?
No.
Ragiona in maniera semplice!
E troverai la matrice T di rango 2 che soddisfa tutte le condizioni, ovvero:
$ T=( ( 1 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
"Haring":
Direi che non essendoci autovalori distinti la matrice non è diagonalizzabile. Corretto?
Rivedi la proposizione cui volevi appellarti, non afferma questo.Hai una base di autovettori
${ ((1),(1),(0)), ((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1)) }$
quindi è diagonalizzabile.
"Magma":
[quote="Haring"]
Direi che non essendoci autovalori distinti la matrice non è diagonalizzabile. Corretto?
Rivedi la proposizione cui volevi appellarti, non afferma questo.[/quote]Questa era la definizione a cui mi riferivo:
Sia $T: V -> V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$, e supponiamo che $T$ abbia esattamente $n$ autovalori distinti in $K$. Allora $T$ è diagonalizzabile.
"Bokonon":
No.
Ragiona in maniera semplice!
E troverai la matrice T di rango 2 che soddisfa tutte le condizioni, ovvero:
$ T=( ( 1 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Ci sto provando
ma ancora non ne sono venuto a campo di come ricavare la matrice $T$ attraverso questa base di autovettori 
Come posso usare la base degli autovettori se il testo richiede la matrice associata ad una base canonica?
Ringrazio entrambi.
"Haring":
L’applicazione lineare $T : R^3 → R^3$ soddisfa:
1. $Ker T$ è generato dal vettore $((1),(1),(0))$
2. l’autospazio di autovalore 2 ha equazione $x1 + x2 + x3 = 0$.
Guarda come procedo io.
Dalla (1) so the T ha rango 2 (dato che ha uno spazio nullo di dimensione 1) e che quindi ha un autovalore pari a zero associato appunto ad $((1),(1),(0))$.
Dalla due so che l'autospazio associato all'autovalore 2 è un piano, ergo ci saranno due autovettori che lo generano.
Prendiamo due vettori semplici a caso, indipendenti e che soddisfino l'eq.
Per es. (1,-1,0) e (1,0,-1), no?
Adesso abbiamo sia la matrice degli autovettori che la matrice diagonale associata.
$ S=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
$ Lambda =( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
$T=SLambdaS^-1$
Fine esercizio
"Haring":
Sia $T: V -> V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$, e supponiamo che $T$ abbia esattamente $n$ autovalori distinti in $K$. Allora $T$ è diagonalizzabile.
La proposizione
"se $T$ ha $n$ autovalori distinti, allora $T$ è diagonalizzabile"
è un'implicazione:
$p rArr q$
cioè: se accade $p$ necessariamente succederà $q$. Nessuna cosa al mondo ti autorizza a dire che
$notprArr notq$
infatti la negazione di un'implicazione è
$not(prArrq)=p ^^ not q$
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