Matrice associata ad applicazione lineare
Salve, all'esame di matematica 1, è stato assegnato questo esercizio:
Trovare la matrice associata alla seguente applicazione lineare $f(x,y,z)=(x+2y+2z, x-4y+z)$, rispetto alle basi
B={(1,2,3),(0,2,1),(0,1,3)} e B'={(2,3),(0,2)}.
La mia difficoltà nasce dal fatto che le dimensioni del Dominio e dell'Immagine sono diverse (3 e 2).
La matrice di $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ è A= $((1,2,2), (1,-4,1))$.
Ora dovrei applicare la formula
$A_B= N A N^(-1)$ con $N$ indicando la matrice per il passaggio dalla base canonica alla base $B$ e con $N^(-1)$ la sua inversa.
$N^(-1)=((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$ e $N=((1,0,0),(-2/5,3/5,-1/5),(-4/5,-1/5,2/5))$. Salvo errori di calcolo.
Ora mi blocco perché non riesco a fare il prodotto riga per colonna
$NAN^(-1)$ in particolare mi pare impossibile il prodotto $((1,0,0),(-2/5,3/5,-1/5),(-4/5,-1/5,2/5))*((11,6,8),(-4,-7,-1))$
Evidentemente non ho capito il procedimento.
Gradirei un suggerimento e, se possibile, la soluzione corretta dell'esercizio.
Grazie
Trovare la matrice associata alla seguente applicazione lineare $f(x,y,z)=(x+2y+2z, x-4y+z)$, rispetto alle basi
B={(1,2,3),(0,2,1),(0,1,3)} e B'={(2,3),(0,2)}.
La mia difficoltà nasce dal fatto che le dimensioni del Dominio e dell'Immagine sono diverse (3 e 2).
La matrice di $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ è A= $((1,2,2), (1,-4,1))$.
Ora dovrei applicare la formula
$A_B= N A N^(-1)$ con $N$ indicando la matrice per il passaggio dalla base canonica alla base $B$ e con $N^(-1)$ la sua inversa.
$N^(-1)=((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$ e $N=((1,0,0),(-2/5,3/5,-1/5),(-4/5,-1/5,2/5))$. Salvo errori di calcolo.
Ora mi blocco perché non riesco a fare il prodotto riga per colonna
$NAN^(-1)$ in particolare mi pare impossibile il prodotto $((1,0,0),(-2/5,3/5,-1/5),(-4/5,-1/5,2/5))*((11,6,8),(-4,-7,-1))$
Evidentemente non ho capito il procedimento.
Gradirei un suggerimento e, se possibile, la soluzione corretta dell'esercizio.
Grazie
Risposte
La formula che dici vale solo per gli endomorfismi, quella formula ti dice che $A_B$ e $A$ sono matrici simili, ma il concetto di similitudine vale solo per matrice quadrate. Questo ti basta per affermare che non puoi utilizzare quello che volevi fare.
Devi fare a meno i conti, calcolare $f(e_i)$ con $e_i$ in $B$ e scriverti $f(e_i)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$ di $RR^2$.
e da li ricavarti la matrice.
Riprova.
Se ti va prova questa proposizione ;
Sia $f$ un endomorfismo di $V$. E siano $B_1$ e $B_2$ due basi di $V$,
Detta $A$ la matrice associata ad $f$ rispetto a $B_1$ e $B$ quella rispetto a $B_1$ , si ha che
$A$ e $B$ sono matrici simili.
cioè $EE P \in GL(n,K)$ tale che $B=P^-1AP$ dove $P$ è la matrice di passaggio da $B_1$ a $B_2$
Devi fare a meno i conti, calcolare $f(e_i)$ con $e_i$ in $B$ e scriverti $f(e_i)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$ di $RR^2$.
e da li ricavarti la matrice.
Riprova.
Se ti va prova questa proposizione ;
Sia $f$ un endomorfismo di $V$. E siano $B_1$ e $B_2$ due basi di $V$,
Detta $A$ la matrice associata ad $f$ rispetto a $B_1$ e $B$ quella rispetto a $B_1$ , si ha che
$A$ e $B$ sono matrici simili.
cioè $EE P \in GL(n,K)$ tale che $B=P^-1AP$ dove $P$ è la matrice di passaggio da $B_1$ a $B_2$
Ragioniamo un pezzo alla volta per prima cosa vuoi questo:
$((1),(0),(0)) -> ((1),(2),(3))$
Cioè che se scrivi il vettore$((1),(0),(0))$ ottieni il primo vettore della nuova base, similmente:
$((0),(1),(0)) -> ((0),(2),(1))$
$((0),(0),(1)) -> ((0),(1),(3))$
Si tratta quindi della matrice di cambiamento di base così scritta:
$((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$
Ora possiamo applicare la matrice della funzione:
$((1,2,2),(1,-4,1))((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$
Infine il vettore che otteniamo è scritto nella base canonica dello spazio di arrivo e noi vogliamo invece che sia scritto nella nuova base, quindi il vettore dobbiamo convertirlo:
$((1),(0))-> ((1/2),(-3/4))$
$((0),(1))-> ((0),(1/2))$
Quindi la matrice di cambiamento è:
$((1/2,0),(-3/4,1/2))$
Quindi la mettiamo per ultima e diventa:
$((1/2,0),(-3/4,1/2))((1,2,2),(1,-4,1))((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$
Ora facciamo le moltiplicazioni
$1/4 ((2,4,4),(-1,-14,-4))((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))=> 1/4 ((22,12,16),(-41,-32,-26))$
Et voilà
$((1),(0),(0)) -> ((1),(2),(3))$
Cioè che se scrivi il vettore$((1),(0),(0))$ ottieni il primo vettore della nuova base, similmente:
$((0),(1),(0)) -> ((0),(2),(1))$
$((0),(0),(1)) -> ((0),(1),(3))$
Si tratta quindi della matrice di cambiamento di base così scritta:
$((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$
Ora possiamo applicare la matrice della funzione:
$((1,2,2),(1,-4,1))((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$
Infine il vettore che otteniamo è scritto nella base canonica dello spazio di arrivo e noi vogliamo invece che sia scritto nella nuova base, quindi il vettore dobbiamo convertirlo:
$((1),(0))-> ((1/2),(-3/4))$
$((0),(1))-> ((0),(1/2))$
Quindi la matrice di cambiamento è:
$((1/2,0),(-3/4,1/2))$
Quindi la mettiamo per ultima e diventa:
$((1/2,0),(-3/4,1/2))((1,2,2),(1,-4,1))((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))$
Ora facciamo le moltiplicazioni
$1/4 ((2,4,4),(-1,-14,-4))((1,0,0),(2,2,1),(3,1,3))=> 1/4 ((22,12,16),(-41,-32,-26))$
Et voilà
[quote=Kashaman]La formula che dici vale solo per gli endomorfismi, quella formula ti dice che $A_B$ e $A$ sono matrici simili, ma il concetto di similitudine vale solo per matrice quadrate. Questo ti basta per affermare che non puoi utilizzare quello che volevi fare.
Devi fare a meno i conti, calcolare $f(e_i)$ con $e_i$ in $B$ e scriverti $f(e_i)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$ di $RR^2$.
e da li ricavarti la matrice.
Riprova.
Intanto grazie per l'aiuto...
vediamo
$f(1,0,0)=(1,1)$
$f(0,1,0)=(2,4)$
$f(0,0,1)=(2,1)$
ma come si fa per scrivere gli $f(e_1)$ come combinazione lineare? forse così?
$(1,1)=a_(11)(2,3)+a_(12)(0,2)$
$(2,4)=a_(21)(2,3)+a_(22)(0,2)$
$(2,1)=a_(31)(2,3)+a_(32)(0,2)$
e poi?
Devi fare a meno i conti, calcolare $f(e_i)$ con $e_i$ in $B$ e scriverti $f(e_i)$ come combinazione lineare dei vettori della base $B'$ di $RR^2$.
e da li ricavarti la matrice.
Riprova.
Intanto grazie per l'aiuto...
vediamo
$f(1,0,0)=(1,1)$
$f(0,1,0)=(2,4)$
$f(0,0,1)=(2,1)$
ma come si fa per scrivere gli $f(e_1)$ come combinazione lineare? forse così?
$(1,1)=a_(11)(2,3)+a_(12)(0,2)$
$(2,4)=a_(21)(2,3)+a_(22)(0,2)$
$(2,1)=a_(31)(2,3)+a_(32)(0,2)$
e poi?
Con riferimento al metodo indicato da Maci noto che, salvo errori miei, la matrice 2x2 di cambiamento è in realtà:
$((1/2,0),(-3/4,1/2))$
Rifacendo i conti , si trova che la matrice richiesta è :
$((11/2,3,4),(-41/4,-8,-13/2))$
Personalmente preferisco il metodo "Kashaman". Anche qui noto un errore d'interpretzione di Gabriello. Non si devono calcolare le immagini della base canonica ma quelle della base B indicata dalla consegna e poi occorre esprimere tali immagini in funzione dei vettori che compongono la base B'.
Eseguo il procedimento per il primo vettore di B ( per gli altri lascio il compito a Gabriello). Dunque si ha :
$f((1),(2),(3))=((11),(-4))$
Esprimo tale vettore in funzione dei vettori di B' ponendo :
$((11),(-4))=a_{11}((2),(3))+a_{12}((0),(2))$
Facendo i calcoli opportuni si trova che : $a_{11}=11/2,a_{12}=-41/4$
Il vettore (colonna) $((11/2),(-41/4))$ rappresenta la prima colonna della matrice richiesta. Le altre due colonne si trovano in maniera analoga.
$((1/2,0),(-3/4,1/2))$
Rifacendo i conti , si trova che la matrice richiesta è :
$((11/2,3,4),(-41/4,-8,-13/2))$
Personalmente preferisco il metodo "Kashaman". Anche qui noto un errore d'interpretzione di Gabriello. Non si devono calcolare le immagini della base canonica ma quelle della base B indicata dalla consegna e poi occorre esprimere tali immagini in funzione dei vettori che compongono la base B'.
Eseguo il procedimento per il primo vettore di B ( per gli altri lascio il compito a Gabriello). Dunque si ha :
$f((1),(2),(3))=((11),(-4))$
Esprimo tale vettore in funzione dei vettori di B' ponendo :
$((11),(-4))=a_{11}((2),(3))+a_{12}((0),(2))$
Facendo i calcoli opportuni si trova che : $a_{11}=11/2,a_{12}=-41/4$
Il vettore (colonna) $((11/2),(-41/4))$ rappresenta la prima colonna della matrice richiesta. Le altre due colonne si trovano in maniera analoga.
Grande Ciro! Scrivo sempre le robe sbadatamente ora modifico!
P.S. Secondo me il vostro metodo mette poco in evidenza i cambiamenti di base che sono l'argomento trattato in questi esercizi Cioè pur essendo più pratico è meno "adatto"
P.S. Secondo me il vostro metodo mette poco in evidenza i cambiamenti di base che sono l'argomento trattato in questi esercizi
Cioè pur essendo più pratico è meno "adatto"
grazie a tutti, il metodo maci86 è più elegante ma per me poco chiaro. Viceversa l'altro metodo è semplice, basta non far...casino con le basi. Grazie di nuovo e alla prossima
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