Matrice associata ad applicazione composta?
Salve, sto avendo difficolta a capire come impostare questo esercizio, o meglio sono molto insicuro sullo svoligmento che ho fatto:
1)Siano \( f_t:R^3\longrightarrow R^2 \) e \( g_t:R^2\longrightarrow R^3 \) applicazioni lineari così definite:
\( f_t (e_1)=e'_1,f_t(e_2)=-e'_1+te'_2,f_t(e_3)=2e'_1+e'_2 \)
\( g_t (e'_1)=te_1+(2t+1)e_3,g_t(e'_2)=e_1-e_2+2e_3 \)
Avendo indicato con $B=(e_1,e_2,e_3)$ e $B'=(e'_1,e'_2)$ rispettivamente le basi canoniche di $R^3$ e $R^2$
Posto \( \varphi _t=g_t\circ f_t:R^3\longrightarrow R^3 \) scrivere la matrice \( A_(\varphi_t) \) associata a $\varphi_t$.
Svolgimento:
Le due matrici che ho ricavato rispetto alle basi canoniche per B e B' sono rispettivamente:
B= \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & t & 1 \end{pmatrix} \)
B'= \( \begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & -1 \\ 2t+1 & 2 \end{pmatrix} \)
Ecco, ora per trovare la matrice associata dovrei fare il prodotto B'B? Perchè qualcosa non mi torna facendo così... non dovrebbe uscir fuori una 3x3?
Grazie a tutti anticipatamente.
1)Siano \( f_t:R^3\longrightarrow R^2 \) e \( g_t:R^2\longrightarrow R^3 \) applicazioni lineari così definite:
\( f_t (e_1)=e'_1,f_t(e_2)=-e'_1+te'_2,f_t(e_3)=2e'_1+e'_2 \)
\( g_t (e'_1)=te_1+(2t+1)e_3,g_t(e'_2)=e_1-e_2+2e_3 \)
Avendo indicato con $B=(e_1,e_2,e_3)$ e $B'=(e'_1,e'_2)$ rispettivamente le basi canoniche di $R^3$ e $R^2$
Posto \( \varphi _t=g_t\circ f_t:R^3\longrightarrow R^3 \) scrivere la matrice \( A_(\varphi_t) \) associata a $\varphi_t$.
Svolgimento:
Le due matrici che ho ricavato rispetto alle basi canoniche per B e B' sono rispettivamente:
B= \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & t & 1 \end{pmatrix} \)
B'= \( \begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & -1 \\ 2t+1 & 2 \end{pmatrix} \)
Ecco, ora per trovare la matrice associata dovrei fare il prodotto B'B? Perchè qualcosa non mi torna facendo così... non dovrebbe uscir fuori una 3x3?
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
E perché, che matrice trovi tu?
"dissonance":
E perché, che matrice trovi tu?
Essendo g composto f non dovrei moltiplicare BB'? E moltiplicando una 2x3 per una 3x2 viene una 2x2
Prima hai scritto \(B'B\), che ha le dimensioni giuste.
"dissonance":
Prima hai scritto \(B'B\), che ha le dimensioni giuste.
Perfetto, quindi tutto giusto... dunque in linea generale quando mi trovo a dover risolvere un esercizio di questo tipo con applicazione composta devo sempre fare il prodotto righe per colonne tra le matrici associate alle due funzioni giusto?
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