Matrice associata a endomorfismo definito da autovettori

[tommyr22-votailprof]

allora ho questo quesito che nn riesco a svolgere.
in $R^3$ ho questi vettori: $v1=(1,1,1) v2=(2,0,1) v3=(-2,1,-1) v4=(1,2,1)$
adesso vorrei sapere la matrice associata,rispetto base canonica, dell'endomorfismo $f:R^3-->R^3$ tale che v1 v2 v3 sono autovettori e $f(v4)=(3,5,3).

vorrei sapere solo il procedimento o almeno la spiegazione in sintesi di quello ke dovrei fare grazie!

[orazioster]

Devi "pareggiare" le incognite con le equazioni.
La matrice che cerchi ha 9 elementi, per cui hai 9 incognite.
Se la moltiplici per $v_4$ (come vett.colonna), hai già tre equazioni.

[tommyr22-votailprof]

in pratica verrebbe così?
chiamando v1=(a,a,a) v2=(2b,0,b) v3=(-2c,c,-c)

a+a+a=1
2b+0+b=2
-2c+c-c=1

risolvo e cosa trovo?

[orazioster]

Dicevo la tua matrice incognita (chiamiamola $L$) moltiplicata per $v_4$:
$L. v_4 =(3,5,3)$.
Chiamo $l_(i,j)$ l'elemento alla i-esima riga, j-esima colonna di L.
Vogliamo trovare tutti e 9 gli $l_(ij)$.
Già da quella prima moltiplicazione hai tre equazioni: $(l_11)1 +l_(12)2 +l_(13)1 =3$, etc. ;

E poi? che succede se moltiplico L per un autovettore?

-Siccome hai chiesto un "procedimento", quello che mi è
venuto in mente di dire è che, in generale, se hai tot incognite puoi provare a trovare varie
relazioni che le legano.

Avendo qui gli elementi della matrice per incognite, tu però
sai che moltiplicando la matrice per una di quelle n-ple di coordinate hai le coordinate del (valore) dell'endomorfismo.

Quante relazioni puoi così trovare?
ti basterebbero tre vettori, se conoscessi del tutto le loro immagini.
Perchè ne hai 4 allora? e perchè bastano?

[ciccio83a]

ti consiglio di guardare qua, c'è quello che ti interessa mi sa...
https://www.matematicamente.it/forum/tro ... 43019.html
Anzi ora posto un altro metodo per trovare la matrice associata